코흐 곡선과 눈송이

헬게 폰 코흐(Helge von Koch)의 1904 곡선은 각 세그먼트의 중간 3분의 1을 정삼각형 돌기의 양쪽 면으로 대체합니다. 이 규칙을 반복하면 모든 지점에서 거친 극한이 생성됩니다.

코흐 눈송이의 다섯 번째 반복: 각 세그먼트는 길이가 1/3인 네 개의 세그먼트로 반복적으로 대체됩니다.이미지: Wrtlprnft · Wikimedia Commons · Public Domain (simple geometry)

네 개의 세그먼트가 하나를 대체합니다

각 반복 과정에서는 하나의 세그먼트가 길이가 3분의 1인 네 개의 세그먼트로 나뉩니다. 세그먼트의 수는 4개씩 늘어나는 반면 길이는 3씩 줄어들어, 차원 log 4 / log 3을 산출합니다.

각 반복 단계마다 세그먼트 수가 4배로 증가하고, 각 세그먼트의 길이는 3분의 1로 줄어듭니다. 따라서 총 길이는 단계당 4/3만큼 증가하며, n단계 후에는 시작 길이의 (4/3)ⁿ배가 됩니다. 가장 작은 특징은 3⁻ⁿ의 비율로 동시에 축소됩니다. 래스터 이미지에서 해당 특징이 픽셀 크기에 근접할 때 유용한 단계에 도달하며, 그 이후의 반복은 대부분 표본 오차를 증가시킬 뿐입니다.

무한한 둘레, 유한한 면적

정삼각형에서 시작하면 코흐 눈송이가 생성됩니다. 매 단계마다 그 둘레에 4/3을 곱하면 값이 발산합니다. 추가된 삼각형 면적들은 수렴하는 기하급수열을 형성하므로, 둘러싸인 면적은 유한한 값에 수렴합니다.

눈송이의 경우, 각 단계마다 점점 더 작은 삼각형이 추가됩니다. 이 삼각형들의 면적 기여도는 수렴하는 기하급수열을 형성하는 반면, 둘레는 (4/3)ⁿ의 비율로 증가합니다. 서로 다른 양을 분리하여 살펴보면 겉보기에는 모순처럼 보였던 현상이 사라집니다. 즉, 매우 얇은 돌출부가 다수 존재할 경우, 제한된 총 면적을 차지하면서도 경계 길이는 무한히 늘어날 수 있습니다. 이 곡선은 가장자리와 내부 면적이 반드시 함께 증가할 필요는 없음을 보여줍니다.

왜 해안과 비슷해 보이지만 해안은 아닌가

이 곡선은 정확히 자기상사적이며, 구성 깊이가 무한합니다. 실제 해안선에는 조수, 암석 입자, 측정 관례가 존재합니다. 코흐 모델은 모든 해안선이 정확한 차원이나 규칙을 따르는 것은 아니라는 점을 전제로, 척도에 따른 길이를 설명해 줍니다.

해안선에는 고정된 60도 굽이도 없고, 모든 스케일에서 네 개의 동일한 조각이 반복되는 것도 아닙니다. 코흐 곡선과의 관계는 측정과 관련이 있습니다. 즉, 자의 길이가 짧을수록 더 많은 만을 따라가게 되어 측정된 길이가 더 길어집니다. 이상적인 모델은 그 메커니즘만을 분리해 내지만, 자연 데이터에는 추정된 지수와 유한한 스케일 간격이 필요합니다. 이러한 경우들을 명확히 구분함으로써, 지질학을 대체 규칙으로 대체하지 않으면서도 비교의 가치를 보존할 수 있습니다.