コッホ曲線と雪の結晶

ヘルゲ・フォン・コッホの1904曲線は、各セグメントの中央3分の1を、正三角形の隆起の両側で置き換えます。この規則を繰り返すことで、至る所で粗い極限が形成されます。

コッホの雪の結晶の第5反復：各線分は、その長さの3分の1の長さの4つの線分に繰り返し置き換えられます。画像: Wrtlprnft · Wikimedia Commons · Public Domain (simple geometry)

1つを4つのセグメントに置き換える

各反復ごとに、1つのセグメントが4つのセグメントに分割され、それぞれの長さは元の3分の1になります。セグメントの数は4つ増える一方で、その長さは3分の1に短縮されるため、次元は log 4 / log 3 となります。

各反復ごとに、セグメント数は4倍になり、各セグメントの長さは3分の1に短縮されます。したがって、全長は1段階ごとに4/3だけ増加し、n段階後には開始時の長さの(4/3)ⁿ倍になります。最小の特徴は、同時に 3⁻ⁿ の割合で縮小します。ラスター画像において、その特徴がピクセルサイズに近づいた時点で実用的な段階に達します。それ以上の反復は、主にサンプリング誤差を増大させるだけです。

無限の周長、有限の面積

正三角形を起点にすると、コッホの雪の結晶が生成されます。その周長は各ステップで 4/3 倍され、発散していきます。追加される三角形の面積は収束する等比数列を形成するため、囲まれた面積は有限値に近づきます。

雪の結晶の場合、各段階ごとにますます小さな三角形が追加されます。それらの面積の寄与は収束する等比数列を形成する一方、周長は (4/3)ⁿ の割合で増加します。この一見矛盾しているように見える現象は、異なる量を分離することで解消されます。すなわち、非常に細い突起が多数存在することで、有限の総面積しか占めないにもかかわらず、境界の長さを無限に増やすことができるのです。この曲線は、辺と内容量が必ずしも共に増加する必要はないことを示しています。

なぜ海岸に似ているが、海岸ではないのか

この曲線は厳密に自己相似であり、構築の深さに制限がありません。実際の海岸線には、潮の満ち引き、岩の粒、測定の慣例が存在します。コッホモデルは、すべての海岸線がその正確な次元や規則に従うとは主張することなく、スケールに依存する長さを明らかにしています。

海岸線には、60度の固定された曲がり角も、あらゆるスケールで4つの同一の区間も存在しません。コッホ曲線との関係は測定に起因します。つまり、定規が短ければ短いほど、より多くの入り江を数えることになり、より長い長さが測定されるのです。理想的なモデルはそのメカニズムを孤立させていますが、自然界のデータには推定された指数と有限のスケール間隔が必要です。これらのケースを明確に区別することで、地質学を置換規則で置き換えることなく、比較の価値を維持することができます。