带有自身乘数的坐标
请将 z 写为 z = x + yi。加法会平移点的位置；乘法则将绝对值相加并叠加角度；平方会使角度加倍，并将距原点的距离平方。这种几何行为解释了在添加常数 c 之前，z² 产生的旋转褶皱。
从几何学角度来看，复数乘法结合了缩放和旋转。正因如此，极短的多项式也能产生扭曲且高度对称的轨道。虚数单位并非装饰性的附加元素；它提供了一个代数框架，使多项式方程及其迭代能够得到自然的处理。渲染器将实部和虚部作为两个坐标存储，每次乘法都会根据固定规则将这两个坐标轴耦合起来。
轨道、幅度和逃逸
渲染器从一个点开始，反复应用一个函数，并观察由此产生的轨道。模值 |z| 表示其与原点的距离。对于二次族，一旦轨道穿越了 2 的逃逸半径，就无法返回有界路径。
《Magnitude》提供了一个简单的逃逸测试，因为对于典型的二次映射，超出足够半径的轨道将无法返回。在达到该证明之前，仍需进行迭代。边界附近的点在逃逸之前可能会长期表现为受限状态。因此，“逃逸半径”和“迭代限制”是两种不同的决策：半径提供了一个数学上的界限，而迭代限制则在未证明所有剩余点的归属性之前，终止了有限的计算。
参数平面与动力平面
在曼德尔布罗集（Mandelbrot set）中，每个像素代表参数 c，轨道从零开始。在朱利亚集（Julia set）中，c 是固定的，每个像素提供初始 z 值。这两个方程密切相关，但图中提出的问题却有所不同。
这两个平面是互补的。参数空间探讨的是哪个常数会产生特定的全局行为；动力学平面则展示了在所选常数下，起始点是如何分布的。在曼德尔布罗集内部选择一个参数会生成一个连通的、被填充的朱利亚集，而在外部选择则会生成一个不连通的朱利亚集。当参数空间中的选择会同步更新其对应的朱利亚视图时，交互式工具便显得尤为具有教学价值。
来源与延伸阅读
本文以原文措辞总结了以下专业资料来源。访问并经编辑审核于 12 年 2026 月。
- Mandelbrot SetWolfram MathWorld
- Julia SetWolfram MathWorld
