理解分形
从一条重复的规则到一个分支的河流系统：55 深入探讨了分形几何的形态、思想与方法。
自相似性与缩放
理解精确相似性、近似相似性、统计相似性和自相似性——以及自然图案为何仅在有限尺度范围内重复。
阅读
曼德尔布罗集
曼德尔布罗集包含什么内容？z² + c 如何形成其边界？以及为何深度缩放会揭示相关而非完全相同的副本？
阅读
分岔图
阅读对数映射的分岔图，从稳定点开始，经过周期倍增、混沌状态，直至周期窗口。
阅读基础知识
尺度、迭代、维数，以及使分形区别于普通几何学的理念。
7 文章什么是分形？
本书清晰地介绍了分形、自相似性、缩放和分形维数等概念，并辅以数学示例及与自然现象的细致对比。
自相似性与缩放
理解精确相似性、近似相似性、统计相似性和自相似性——以及自然图案为何仅在有限尺度范围内重复。
分形维数
分形维数衡量的是什么，盒计数法如何运作，以及为什么一个对象可能具有多个有意义的维数。
迭代与递归
重复应用规则如何产生分形细节，为什么迭代不等于递归，以及极限如何融入定义之中。
复数作为平面
这是一篇关于复数、模、角度以及曼德尔布罗特和朱利亚图像背后平方运算的视觉导论。
混沌是确定性的
为什么确定性方程会变得不可预测？敏感性与随机性有何不同？分形在相空间中扮演什么角色？
分形术语表
对吸引子、逃逸点、吸引盆、维数、法图集、迭代、朱利亚集、扰动、自相似性等术语的简明定义。
历史与发现
从病理曲线到曼德尔布罗特的粗糙度几何学。
5 文章
构造分形
精确的递归集、曲线、垫片、海绵及变换系统。
9 文章
康托尔集
永远去除中间三分之一，探索一个具有零长度、自相似性以及维数 log 2/log 3 的不可数集合。
科赫曲线与雪花
构建科赫曲线，并理解其“雪花”如何在无限长的边界后围成有限的面积。
谢尔皮斯基三角形与地毯
重复去除如何产生精确的自相似性、消失的面积，以及从康托尔集通向更高维度的桥梁。
门格海绵
探索谢尔皮斯基地毯的三维变体，其极限体积为零，表面复杂度无穷无尽。
空间填充曲线
一维区间如何连续映射到一个正方形上，以及为什么有限希尔伯特曲线有助于对多维数据进行排序。
龙曲线
来认识一下“海格威龙”（Heighway dragon）——这是一条递归折纸曲线，其极限形态在内部空间中充满且不自相交。
迭代函数系统
一小组收缩变换如何定义一个唯一的分形吸引子。
巴恩斯利蕨与混沌游戏
四种仿射映射与随机选择如何将数学点演变为一株逼真的蕨类植物。
阿波罗尼乌斯垫片
相互相切的圆如何递归地填充曲线间隙，并将经典几何学与数论联系起来。
复动力学与混沌
曼德尔布罗特、朱利亚、牛顿、Lyapunov 以及由重复规则产生的吸引子。
9 文章曼德尔布罗集
曼德尔布罗集包含什么内容？z² + c 如何形成其边界？以及为何深度缩放会揭示相关而非完全相同的副本？
朱利亚集
如何通过在 z² + c 中固定 c 值来构建一个动力学平面，从连通的树枝状结构到不连通的康托尔尘埃。
“燃烧之船”分形
为什么在平方之前取绝对值会打破旋转对称性，并产生“燃烧之船”般的火焰状景观？
Multibrot 集合和 multicorns
如何通过改变幂次或共轭轨道，生成具有独特对称性和分岔特征的新参数族。
牛顿分形
牛顿求根法如何将复平面划分为具有分形边界的彩色盆地。
Lyapunov 分形
交替的参数序列如何将逻辑斯蒂系统的 Lyapunov 指数转化为羽状稳定映射。
奇异吸引子
为何某些耗散混沌系统会稳定在具有敏感运动和分形几何的有限集上。
分岔图
阅读对数映射的分岔图，从稳定点开始，经过周期倍增、混沌状态，直至周期窗口。
吸引盆地
结果图如何划分状态空间，以及为何其边界会使预测变得任意敏感。
自然界中的分形
在那里，分支、粗糙度和统计自相似性显现——而类比也止步于此。
12 文章自然界中真的存在分形吗？
一本关于树木、河流、云朵、肺部和海岸线中自然自相似性的详尽指南——以及为何它们都不是无限的。
海岸线悖论
为什么较小的标尺能测量出更长的海岸线？理查森图如何估算缩放关系？这一悖论在物理层面上究竟到哪里为止？
树木、蕨类植物和分枝植物
重复的分支与发育限制如何在植物中形成近似的自相似性。
河流与排水网络
支流序、侵蚀和流域几何如何形成与尺度相关的河流网络。
云、湍流与尺度
为何云层边界和湍流场表现出统计尺缩而非精确的几何自相似性。
山脉、表面与粗糙度
自相似模型如何描述地形粗糙度、垂直与水平尺度为何不同，以及侵蚀作用带来的影响。
肺、血管和神经元
生物分支结构如何在有限的器官内形成巨大的交换表面和运输网络。
雪花、晶体与分支生长
为什么雪晶会形成六叉分支和富尺度边缘，却不会变成科赫雪花。
闪电与介电击穿
分支电通道如何在不稳定场中生长，以及为何其几何形态与其他传输受限模式相似。
分支作为一种运输策略
为什么树木、河流和肺部具有相似的分层几何结构——以及为何效率主张需要设定限制条件。
生理信号中的分形图案
如何研究心跳及其他生理时间序列中与尺度相关的波动——并附必要的的方法论注意事项。
扩散限制聚合
随机游走者如何通过聚集形成与传输限制生长相关的屏蔽式分支结构。
渲染与应用
数学如何转化为图像，以及尺度自适应模型在哪些场景下发挥作用。
13 文章逃逸时间渲染
曼德尔布罗特和朱利亚渲染器如何将有界轨道测试、迭代极限和光滑度计数转化为像素。
超越迭代带的分形着色
本指南涵盖平滑迭代、势能、距离、角度、轨道陷阱、内部着色及知觉渐变等内容。
距离估算与等高线结构
如何通过考虑导数的估计方法来近似分形边界距离，并支持等高线、抗锯齿和浮雕效果。
深度缩放与扰动
为何在极度放大时坐标会发生坍缩，以及一条高精度参考轨道如何支持许多邻近像素。
GPU 分形渲染
分形像素如何在 Mac 和 Apple Silicon 上利用并行 Metal 计算，其中发散和精度如何影响性能，以及渐进式精化为何至关重要。
渲染大于一张纹理的图像
如何通过基于磁盘的平铺渲染技术生成巨幅图像，同时在接缝处保持坐标、特效和抗锯齿效果。
分形浮雕、法线和光照
标量分形场如何转化为高度、法线、定向光和点光源照明的曲面。
多分形
为何一维有时不够用，以及奇点谱如何描述不同尺度上的不均匀分布。
分形天线
自相似和空间填充型导体如何支持紧凑型或多频段天线设计——以及仅凭几何形状无法实现的局限性。
分形图像压缩
块变换如何近似图像的自相似性，为何解码是迭代的，以及为何该方法仍保持其专业性。
程序化景观与分形噪声
多八度噪声如何生成尺度丰富的地形和纹理——以及域变形和侵蚀为何能使其显得逼真。
分形艺术：以数学为素材
艺术家如何将公式、参数搜索、色彩、纹理、光照以及导出设置转化为精心创作的图像。
关于分形常见的误解
针对关于无限、自然、维度、混沌、随机图案以及渲染图像所证明的内容等论述，需进行明确的修正。