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康托尔集的七个构造阶段
康托尔构造的七次迭代:在每一步中,从每个剩余区间中移除中间的开放三分之一部分。图片: Wikimedia contributors · Wikimedia Commons · Public Domain (simple geometry)
谢尔皮斯基三角形的第七次迭代
谢尔皮斯基三角形的第七次迭代:三个缩小的副本构成下一阶段,同时中央空隙保持空白。图片: PiAndWhippedCream · Wikimedia Commons · Public Domain
希尔伯特曲线的前三个阶的叠加图
希尔伯特曲线的前三个阶展示了在极限过程中,一条一维直线如何密集地穿越一个正方形。图片: Geoff Richards (Qef) · Wikimedia Commons · Public Domain
科赫雪花的第五次迭代
科赫雪花的第五次迭代:每个线段被反复替换为四个长度均为其三分之一的线段。图片: Wrtlprnft · Wikimedia Commons · Public Domain (simple geometry)
阿波罗尼乌斯圆铺砌的构造图
阿波罗尼乌斯垫片的构造:在三个相互相切的圆之间的每个间隙中,插入更多的切圆。图片: Stevo-88 · Wikimedia Commons · Public Domain
作为门格海绵二维对应物的谢尔皮斯基地毯的第五次迭代
门格海绵的二维对应体:从每个正方形中递归地移除中央的九分之一。图片: Solkoll · Wikimedia Commons · Public Domain
龙曲线各迭代阶段的颜色标记
具有分色阶数的龙曲线:通过重复折叠或 L 系统,可生成其特有的空间填充曲线。图片: Joehms22 · Wikimedia Commons · Public Domain
由迭代函数系统生成的巴恩斯利蕨
巴恩斯利蕨:通过四种仿射映射和加权随机选择,生成一幅形似蕨类的数学图像。图片: Farry · Wikimedia Commons · CC0 1.0
对数映射的分岔图
对数映射的分岔图:随着参数增大,稳定态会反复分裂,随后出现混沌带。图片: PAR · Wikimedia Commons · Public Domain
具有重复分支导电结构的相控阵天线板
一种采用重复分支导体几何结构的实验性天线阵列。此类几何结构可在紧凑区域内容纳多个有效长度尺度。图片: Isenberg · Wikimedia Commons · CC BY 4.0
蓝色曼德尔布罗特图的深度缩放,呈现反复分支的螺旋
深入放大曼德尔布罗特区域:在多个尺度上,相关但并不完全相同的边界结构会反复出现。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit · Eigene Darstellung · Own work
带蜿蜒边界带的彩色渲染朱利亚集
MandelKit 中的朱利亚集:一条迭代规则生成的边界,其结构可细化至显示极限。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit · Eigene Darstellung · Own work
“燃烧之船”分形:绿松石色背景上点缀着红色岛屿
MandelKit 中的“燃烧之船”:迭代中的绝对值打破了经典曼德尔布罗特映射的对称性。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit · Eigene Darstellung · Own work
色彩鲜艳的分形浮雕,带有分层的色带
MandelKit 中的色彩设计:图像诠释的是计算出的数值,并非数学集合本身。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit · Eigene Darstellung · Own work
黑色背景上的粉色三维分形浮雕
MandelKit 中的 3D 浮雕:高度、法线和光照将标量分形数据转化为空间呈现效果。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit · Eigene Darstellung · Own work
罗马花椰菜,其形状相似的花蕾呈螺旋状排列
罗马花椰菜在几个尺度级别上重复生长模式——这是一个极具启发性的自然范例,但并非无限精确的分形。图片: Jon Sullivan · Wikimedia Commons · Public Domain
一株蕨类植物的特写,其小叶呈现相似的分枝结构
蕨类植物的羽状叶片和叶片小片遵循相关的分支模式。生物生长将自相似性限制在有限尺度内。图片: Abbas Karimi · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0
科罗拉多河三角洲的分支卫星图像
科罗拉多三角洲的 ASTER 视图:水流、沉积物和地形形成分支网络,其统计特征取决于观测尺度。图片: NASA/METI/AIST/Japan Space Systems/U.S.–Japan ASTER Science Team · NASA / Wikimedia Commons · Public Domain (NASA)
分支状雪晶的扫描电子显微镜图像
美国农业部(USDA)的伪彩色扫描电子显微镜图像:温度和湿度塑造了每颗晶体的有限树枝状生长。图片: USDA Agricultural Research Service · USDA ARS / Wikimedia Commons · Public Domain (U.S. Government)
漆黑的夜空中,闪电枝杈繁茂
在电击穿过程中,闪电通道会发生分支。它与其他网络的相似之处并不意味着其中起作用的是相同的物理过程。图片: Brad Caldwell (Caldwbr) · Wikimedia Commons · CC0 1.0
支气管、肺泡和肺血管的医学插图
支气管和血管通过分层分支结构输送空气和血液。分形模型描述的是这种几何结构的局部,而非整个生理系统。图片: Patrick J. Lynch, medical illustrator; C. Carl Jaffe, MD · Yale / Wikimedia Commons · CC BY 2.5
数学家布诺瓦·曼德尔布罗特在洛桑联邦理工学院(EPFL)的肖像,见于 2007
EPFL 的贝诺瓦·曼德尔布罗特,14 3 月 2007。他的研究将尺度分析、计算机成像与粗糙形态的几何学结合在一起。图片: Rama · Wikimedia Commons · CC BY-SA 2.0 FR
自相似粗糙曲线上的计数网格
盒计数法用于测量当单元格尺寸变化时,结构接触了多少个网格单元格。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work
具有十一级递归分支的数学树
每个分支都会以更短的长度和旋转角度再次调用相同的构造规则。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work
两个最初相邻的对数映射轨道逐渐发散
两个仅相差一千万分之一的初始值,在混沌状态下会迅速发散。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work
一个逐渐变得更粗糙的魏尔斯特拉斯函数的三种近似
每增加一个频段,曲线都会变得更加细腻和粗糙,同时不会破坏其连续性。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work
完整的曼德尔布罗集,主体和卫星清晰可见
黑点在 z² + c 范围内保持有界;周围区域的颜色由平滑后的逃逸时间决定。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work
并列展示的立方体 Multibrot 集合与 Multicorn
左侧面板迭代 z³ + c,右侧面板迭代其共轭变体;微小的规则变化会产生不同的对称性。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work
具有三个分色吸引盆地的牛顿分形
颜色显示牛顿法所达到的根;分形边界对初始值极为敏感。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work
具有五个根的牛顿法交织盆地
五个吸引子将平面划分为多个区域,这些区域的共享边界在越来越小的尺度上依然相互交织。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work
Lyapunov 周期性交替的洛吉斯蒂克映射分形
浅色区域标记稳定的参数序列;深色和蓝色区域则表示正的 Lyapunov 指数以及混沌现象。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work
具有两个蝴蝶状叶片的洛伦兹吸引子数值积分结果
单个轨迹永远不会进入周期状态,却始终被永久地限制在特征性的洛伦兹结构之中。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work
对扩散受限、树枝状分支聚集体进行模拟
随机游走的粒子在首次接触簇时会附着其上,从而形成被屏蔽的、树状的分支。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work
由分层噪声尺度组装而成的过程化云场
多个不同尺寸的平滑噪声场组合成一种具有统计学意义的多尺度云状结构。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work
通过递归高度场细分生成的带阴影的程序化山地地形
通过递归细分和递减的随机偏移量,可以生成形态宽广且粗糙度逐渐细化的地形。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work
多尺度分形级联,其质量在多个尺度上分布不均
乘法级联在每个步骤中都会不均匀地重新分配权重,从而产生多个局部缩放指数。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work
具有缓慢基线的多尺度合成时间信号
一个通过频谱生成的 1/f 型信号,展示了在生理时间序列中研究的长程波动。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work
带有块状网格和三个变换子区域的分形图像
该示意图展示了通过其他区域的仿射复制来描述图像区域的原理。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work
三阶门格海绵的等距渲染图
在每个阶段,中央的子立方体都会被移除,最终形成一个表面积不断增大的穿孔实体。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work
曼德尔布罗集周围的距离估算,带有精细的距离等值线
迭代导数可估算到集合的距离;等高线则使该标量值可视化。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work
带可见平铺网格的曼德尔布罗特渲染,用于大规模导出
超大尺寸的图像会被分割成易于处理的图块,随后无缝拼接而成。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work