Multibrot 集合和 multicorns

二次曼德尔布罗集是更大集合中的一员。将 z² 替换为 zᵈ 会产生多布罗集；在幂前对 z 进行共轭运算，则会产生被称为多角锥的反全纯变体。

左侧面板迭代 z³ + c，右侧面板迭代其共轭变体；微小的规则变化会产生不同的对称性。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

力量决定对称性

对于大于 1 的整数 d，公式 zₙ₊₁ = zₙᵈ + c 生成的参数集具有以原点为中心的 d − 1 个旋转对称轴，并伴有反射对称性。三次及更高次幂会重新排列球状结构和丝状结构，同时保持有界轨道性质。

对于 z↦zᵈ+c，Multibrot 集合具有 (d−1) 倍的旋转对称性。次数的不同也会改变主要成分的数量和排列方式。公正的视觉比较应保持裁剪、迭代逻辑和颜色归一化恒定；否则，调色板的改变可能会被误认为是几何结构的变化。非整数幂还要求选择复数分支，且并不简单地属于同一族。

反全纯迭代使用 z 的复共轭。三角形（二次情况）具有三重外观，其分岔行为与曼德尔布罗集有显著差异；熟悉的全纯定理不能简单地照搬过来。

多角锥使用 z̄ᵈ+c 并具有反全纯性。其双曲分量具有不同的边界现象，包括抛物线参数的弧，而不仅仅是孤立的尖点。因此，熟悉的全纯术语不能机械地套用。可见的多重对称性是一个切入点，但共轭会实质性地改变参数几何和分岔的性质。

在保持颜色、视口和迭代策略一致的同时，仅改变公式，即可揭示哪些结构源自指数、对称性或共轭。这比将每个轮廓都视为互不相关的装饰性预设更能提供信息。

受控探索会选择一个阶数，设置适当的逃逸条件，并比较参数平面和朱利亚平面中相同的像素坐标。平滑处理和颜色来源在后续步骤中进行。这有助于区分哪些变化源于指数或共轭。当目的是进行公式比较时，样式预设不应在用户不知情的情况下将这些数学参数与效果绑定。

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