フラクタル画像の圧縮

フラクタル画像圧縮とは、画像を、より大きなソースブロックを、より小さなターゲットブロックに近似的に写像する収縮変換の集合として表現する手法です。

この図は、他の領域のアフィン写像によって画像領域を記述する原理を示しています。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

繰り返される構造を検索する

エンコーダーは画像を範囲ブロックに分割し、幾何学的および色調的な変換を行った後、それらに類似するドメインブロックを検索します。変換リストは、その固定点が元の画像に近似する演算子を定義します。

エンコーダは画像を小さな範囲のブロックに分割し、回転、対称反転、明るさおよびコントラストの調整を行った後に類似するようになる、より大きな領域のブロックを検索します。ピクセルそのものではなく、変換パラメータを保存します。高い一致度を得るには、反復的な局所構造が必要です。検索の組み合わせ数は膨大であるため、候補の分類と絞り込みがエンコーディングのコストの大部分を決定します。

非対称コスト

デコードでは、保存された変換が繰り返し適用され、任意の画像を起点として開始できます。エンコードは、ブロック間の関係性を広範囲に検索する必要があるため計算負荷が高くなります。その検索を高速化し、制約を設けることが、実用的なシステムにおいて極めて重要です。

デコードでは、任意の開始画像に対してすべての変換が繰り返し適用されます。結合された演算子は収縮的である必要があるため、このシーケンスは固定点に収束します。これが、エンコード時のコストが高い関係性の探索と、デコード時の比較的単純な反復処理という非対称なコスト構造を説明しています。条件が悪い、あるいは過度に攻撃的なマッピングは、収束や画質に悪影響を及ぼす可能性があります。

ズーム機能の期待と実用上のトレードオフ

変換は連続写像を定義するため、デコードされた画像は元のグリッドの範囲を超えて評価できますが、失われた写真的な真実が復元されることはありません。現代の汎用コーデックは通常、速度、品質、サポートのバランスに優れており、フラクタル圧縮は歴史的に重要でありながらも、特殊な分野にとどまっています。

変換は連続的に評価できるため、デコーダーはより大きなラスタを生成することが可能です。ソースからの追加的な写真的真実性は復元されませんが、モデルの自己相似性の仮定は洗練されています。現代のコーデックは、ブロック変換、予測、および学習アルゴリズムを通じて、一般的に速度と品質のバランスをより良く取っています。フラクタル圧縮は概念的には依然として重要ですが、ロスレスで無限にズームできる普遍的な手段というわけではありません。