出典が明記された画像

すべてのドキュメンタリー画像は、パブリックドメインまたはクリエイティブ・コモンズによる明示的な公開が確認されており、ローカルに保存されています。オリジナルの数学的画像は、MandelKit または再現可能な MandelKit ナレッジレンダラーによって生成されています。

カンター集合の7つの構成段階 — カントール構成の7回の反復：各ステップで、残りのすべての区間から、中央の3分の1の開区間が削除されます。画像: Wikimedia contributors · Wikimedia Commons · Public Domain (simple geometry)

シェルピンスキーの三角形の第7反復 — シェルピンスキーの三角形の第7反復：3つの縮小されたコピーが次の段階を形成し、中央の隙間は空いたままになります。画像: PiAndWhippedCream · Wikimedia Commons · Public Domain

ヒルベルト曲線の最初の3次の重なり — ヒルベルト曲線の最初の3次の項は、極限過程において1次元の直線が正方形をどのように密に横断するかを示しています。画像: Geoff Richards (Qef) · Wikimedia Commons · Public Domain

コッホの雪の結晶の第5反復 — コッホの雪の結晶の第5反復：各線分は、その長さの3分の1の長さの4つの線分に繰り返し置き換えられます。画像: Wrtlprnft · Wikimedia Commons · Public Domain (simple geometry)

アポロニウス円配置の構成図 — アポロニウス・ガスケットの作図：互いに接する3つの円の間にあるすべての隙間に、さらに接円が挿入されます。画像: Stevo-88 · Wikimedia Commons · Public Domain

メンガー・スポンジの2次元版として、シエルピンスキー・カーペットの第5反復 — メンガー・スポンジの2次元版：各正方形の中央の9分の1が再帰的に除去されます。画像: Solkoll · Wikimedia Commons · Public Domain

ドラゴン曲線の反復段階を色分けして表示 — 色分けされた順序を持つドラゴン曲線：繰り返し折り畳み、あるいはLシステムによって、その特徴的な空間充填線が生成されます。画像: Joehms22 · Wikimedia Commons · Public Domain

反復関数系によって生成されたバーンズリー・ファーン — バーンズリー・ファーン：4つのアフィン写像と重み付きランダム選択により、シダに似た数学的な画像が生成されます。画像: Farry · Wikimedia Commons · CC0 1.0

ロジスティック写像の分岐図 — ロジスティック写像の分岐図：パラメータが増加するにつれて、安定状態が繰り返し分裂し、その後カオス帯が現れます。画像: PAR · Wikimedia Commons · Public Domain

繰り返し分岐する導体構造を備えたフェーズドアレイアンテナ基板 — 分岐する導体形状が繰り返される実験的なアンテナアレイ。このような形状により、コンパクトな領域に複数の有効長スケールを収めることができます。画像: Isenberg · Wikimedia Commons · CC BY 4.0

繰り返し分岐する螺旋を持つ、青色のマンデルブロ集合のディープズーム — マンデルブロ領域を深くズームインすると、関連性はあるものの同一ではない境界構造が、さまざまなスケールで繰り返し現れます。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit · Eigene Darstellung · Own work

曲がりくねった境界帯を持つ、カラーレンダリングされたジュリア集合 — MandelKitにおけるジュリア集合：1回の反復規則により、表示限界まで構造を持つ境界が生成されます。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit · Eigene Darstellung · Own work

ターコイズ色の背景に赤い島々が浮かぶ「Burning Ship」フラクタル — MandelKitにおける「Burning Ship」：反復における絶対値が、古典的なマンデルブロマップの対称性を破ります。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit · Eigene Darstellung · Own work

色鮮やかなフラクタルレリーフと、層状に重なるカラーバンド — MandelKitにおけるカラーデザイン：画像は計算された値を表現したものであり、数学的な集合そのものではありません。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit · Eigene Darstellung · Own work

黒を背景にしたピンクの立体的なフラクタルレリーフ — MandelKitにおける3Dレリーフ：高さ、法線、照明により、スカラーのフラクタルデータが空間的な表現へと変換されます。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit · Eigene Darstellung · Own work

らせん状に並んだ、似たような形の小花を持つロマネスコ — ロマネスコは、いくつかのサイズレベルにわたって成長のモチーフを繰り返しますが、これは示唆に富む自然界の例ではありますが、無限に正確なフラクタルというわけではありません。画像: Jon Sullivan · Wikimedia Commons · Public Domain

同様に枝分かれした小葉を持つシダのクローズアップ — シダの葉身や小葉は、関連する分岐パターンに従っています。生物の成長により、自己相似性は有限のスケールに制限されます。画像: Abbas Karimi · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0

分岐するコロラド川デルタの衛星画像 — コロラド・デルタのASTER画像：水流、堆積物、地形が分岐するネットワークを形成しており、その統計的特性は観測スケールに依存する。画像: NASA/METI/AIST/Japan Space Systems/U.S.–Japan ASTER Science Team · NASA / Wikimedia Commons · Public Domain (NASA)

分岐した雪の結晶の走査型電子顕微鏡画像 — USDAによる走査型電子顕微鏡画像の疑似カラー表示：温度と湿度が、各結晶の有限な樹枝状成長を形作っています。画像: USDA Agricultural Research Service · USDA ARS / Wikimedia Commons · Public Domain (U.S. Government)

暗い夜空を背景に、激しく分岐する稲光 — 雷の放電経路は、電気的破壊の際に分岐します。他のネットワークと類似しているからといって、同じプロセスが働いているわけではありません。画像: Brad Caldwell (Caldwbr) · Wikimedia Commons · CC0 1.0

気管支、肺胞、肺血管の医学イラスト — 気管支や血管は、階層的な分岐構造を通じて空気や血液を送り出します。フラクタルモデルは、この幾何学構造の一部を記述するものであり、生理学全体を記述するものではありません。画像: Patrick J. Lynch, medical illustrator; C. Carl Jaffe, MD · Yale / Wikimedia Commons · CC BY 2.5

EPFLにおける数学者ブノワ・マンデルブロの肖像画（2007） — EPFLのブノワ・マンデルブロ、14 3月 2007。彼の研究は、スケール解析、コンピュータグラフィックス、およびラフな形状の幾何学を結びつけました。画像: Rama · Wikimedia Commons · CC BY-SA 2.0 FR

自己相似な粗い曲線上のボックスカウント格子 — ボックスカウントとは、セルサイズが変化するにつれて、構造体が接触するグリッドセルの数を測定するものです。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

11段階のレベルを持つ、再帰的に分岐する数学的なツリー — 各分岐は、長さを短くし、回転角度を変えて、同じ構築ルールを再度適用します。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

当初は隣接していた2つのロジスティック写像の軌道が、次第に離散していく — 1000万分の1しか違わない2つの初期値は、カオス領域において急速に発散します。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

次第に粗くなるワイエルシュトラス関数の3つの近似 — 周波数帯域を追加するたびに、曲線の連続性を損なうことなく、曲線はより繊細かつ粗いものになります。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

本体と衛星がはっきりと確認できる完全なマンデルブロ集合 — 黒い点は z² + c の範囲内に収まっており、その周囲は平滑化されたエスケープタイムによって色分けされています。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

並列表示された立方体のMultibrotセットとMulticorn — 左側のパネルは z³ + c を反復し、右側はそれの共役変形を示しています。わずかな規則の変更によって、異なる対称性が生まれます。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

3つの色分けされた引力盆地を持つニュートンフラクタル — 色は、ニュートン法がどの根に到達したかを示しており、フラクタルの境界は初期値に敏感に反応します。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

5つの根を持つニュートン法の相互に絡み合った盆地 — 5つのアトラクタが平面を「リージョン」に分割し、それらの共通する境界線は、スケールが小さくなるにつれて互いに絡み合い続けます。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Lyapunov 周期的に交互に変化するロジスティック写像のフラクタル — 明るい領域は安定したパラメータ列を示し、暗い領域や青い領域は正のLyapunov指数およびカオスを示しています。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

2つの蝶の形をしたローブを持つ、数値積分されたローレンツアトラクタ — 単一の軌跡は決して周期に落ち着くことはありませんが、特徴的なローレンツ構造の中に恒久的に閉じ込められたままとなります。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

拡散制限を受けた樹枝状分岐凝集体のシミュレーション — ランダムウォークを行う粒子は、クラスターと最初に接触した際にそこに付着し、スクリーニングされた樹木のような枝構造を形成します。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

層状のノイズスケールから構成された手続き型クラウドフィールド — 異なるサイズの複数の平滑化されたノイズフィールドが組み合わさり、統計的にマルチスケールな雲状の構造を形成します。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

再帰的な高さフィールドの細分化による、陰影付きのプロシージャルな山岳地形 — 再帰的な細分化と、徐々に減少するランダムなオフセットにより、広大な形状を持ち、次第にきめ細かくなる起伏を持つ地形が生成されます。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

多くのスケールにわたって質量が不均一に分布するマルチフラクタルカスケード — 乗法カスケードは、各ステップで重みを不均一に再配分し、複数の局所的なスケーリング指数を生成します。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

ベースラインの変動が緩やかなマルチスケール合成時間信号 — スペクトル的に生成された 1/f 型の信号は、生理学的時系列で研究されている長距離変動を示しています。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

ブロック格子と3つの変形されたサブ領域を含むフラクタル画像 — この図は、他の領域のアフィン写像によって画像領域を記述する原理を示しています。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

3次メンガー・スポンジのアイソメトリック・レンダリング — 各段階ごとに中央のサブキューブが除去され、表面積が絶えず拡大し続ける穴の開いた立体が残されます。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

マンデルブロ集合周辺の距離推定（高精度な距離等高線付き） — 反復導関数は、集合までの距離の推定値を提供し、等高線はこのスカラー値を可視化します。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

大規模なエクスポート用に、タイルグリッドが表示されたマンデルブロートのレンダリング — 大きすぎる画像は扱いやすいタイルに分割され、継ぎ目が目立たないように組み合わされます。画像: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work