多分形

单分形由一个主导的标度指数来概括。多分形包含具有不同局部标度强度的交织区域，需要用频谱而非单一数值来描述。

乘法级联在每个步骤中都会不均匀地重新分配权重，从而产生多个局部缩放指数。图片: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

度量，而不仅仅是形状

多分形分析通常研究随着尺度变化，质量、概率、能量或活动在各区域中的分布情况。即使密集区域和稀疏区域占据相同的几何支撑空间，它们遵循的指数也各不相同。

多分形分析不仅研究支撑集的形状，还研究质量或概率在支撑集上的分布情况。小区域可能具有不同的局部指数。均匀分布的几何“地毯”可能只需一个维度；而间歇性湍流或不均匀级联则需要一个谱。因此，预处理必须明确定义待分析的度量。

分区函数通过幂次 q 对盒子概率进行加权。正值 q 强调密集区域；负值 q 强调稀疏区域，且对噪声敏感。缩放指数可转换为奇点谱，用于描述局部强度子集的维度。

针对不同的矩 q，将各盒子质量的幂次相加。正值 q 强调密集区域，负值 q 则强调稀疏区域。缩放运算可得出 τ(q)，并通过勒让德变换得到 f(α) 谱。负矩对空盒或含噪声的盒子极为敏感。宽谱可能揭示真实的异质性，也可能仅仅放大了有限采样和检测极限。

可靠的光谱需要宽广的尺度范围、充足的样本量，以及针对趋势和有限尺寸效应的稳健性检验。估计曲线范围较宽并不自动意味着存在复杂的级联现象；替代模型和不确定性至关重要。

可靠的多分形分析需要多尺度数据、充足的数据量，以及在窗口选择和去趋势处理过程中的稳定性。合成替代数据用于检验频谱是否超出了仅靠线性相关性或分布所能产生的范围。生成一条色彩鲜艳且无不确定性的 f(α) 曲线虽易，但其证据力较弱。方法比较属于结果部分。

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