Courbes remplissant l'espace
Une courbe remplissant l'espace est une application continue dont l'image recouvre une région de dimension supérieure. Il ne s'agit pas d'un fil doté d'une épaisseur physique ; le résultat appartient à la limite mathématique infinie.
La surprise de Peano
Dans 1890, Giuseppe Peano a donné la première construction d’une surjection continue d’un intervalle vers un carré. Hilbert a rapidement proposé une version récursive géométriquement transparente dont les approximations polygonales parcourent une grille de plus en plus fine.
La fonction de Peano est continue et surjective de l’intervalle unité vers le carré. Elle ne contredit pas le théorème des valeurs intermédiaires ; elle contredit l’idée naïve selon laquelle la continuité préserve la dimension. Les approximations finies visitent des cellules de plus en plus fines dans un ordre prédéfini, et seule leur fonction limite uniforme atteint chaque point. La fonction ne peut pas non plus être bijective : plusieurs valeurs de paramètres peuvent décrire le même point dans le carré.
La dimension dépend de la question
Le domaine reste un intervalle unidimensionnel au sens topologique, tandis que l’image couvre un carré bidimensionnel. Les courbes remplissant l’espace démontrent donc pourquoi la topologie, la mesure et la dimension d’échelle ne peuvent pas être considérées comme interchangeables.
Le domaine des paramètres a une dimension topologique égale à un, tandis que son image est une région bidimensionnelle. Les dimensions mentionnées sont donc correctes selon la définition et l’objet dont il est question. Toute approximation polygonale finie se comporte toujours comme une ligne ordinaire ; seule la limite se remplit. L’exemple met en garde contre l’utilisation du terme « la dimension » sans préciser l’objet et la définition, en particulier lorsque le paramètre, l’image et l’approximation apparaissent dans un même schéma.
La « localité » en tant qu’avantage pratique
Les ordres de Hilbert finis et les ordres apparentés ont tendance à maintenir les cellules de grille voisines proches les unes des autres le long d’un parcours unidimensionnel. Cela les rend utiles pour l’indexation spatiale, le traitement tenant compte du cache et les algorithmes d’image, même si les implémentations pratiques s’arrêtent bien avant la limite mathématique.
Les ordres de Hilbert et de Morton présentent un intérêt pratique, car les positions proches les unes des autres dans l’ordre correspondent souvent à des cellules spatialement proches. Cette conservation n’est pas parfaite, mais elle s’avère utile pour les caches, les bases de données et le traitement d’images. Un ensemble de tuiles bidimensionnel peut ainsi être traité comme une séquence unidimensionnelle sans avoir à effectuer de sauts répétés dans la mémoire. Une curiosité historique devient ainsi une stratégie concrète pour les hiérarchies de stockage modernes.
Sources et lectures complémentaires
Cet article résume les sources spécialisées suivantes en reprenant leur formulation d'origine. Consultées et révisées par la rédaction 12 août 2026.
- Space-Filling CurveWolfram MathWorld
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ApplicationsWiley
Poursuivez l'idée
Quand les courbes sont devenues « pathologiques »
Pourquoi les courbes continues, ni lisses ni « nowhere-smooth », et celles remplissant l’espace ont bouleversé l’intuition classique — avant de devenir par la suite des exemples phares.
La courbe du dragon
Découvrez le dragon de Heighway, une courbe récursive issue du pliage de papier dont la limite présente un intérieur remplissant l'espace sans se croiser.
L'éponge de Menger
Explorez la version tridimensionnelle du tapis de Sierpiński, avec un volume limite nul et une complexité de surface illimitée.