空间填充曲线

空间填充曲线是一种连续映射，其像覆盖了更高维度的区域。它并非具有物理厚度的线段；其结果属于无限的数学极限。

希尔伯特曲线的前三个阶展示了在极限过程中，一条一维直线如何密集地穿越一个正方形。图片: Geoff Richards (Qef) · Wikimedia Commons · Public Domain

皮亚诺的惊喜

在 1890 中，朱塞佩·皮亚诺首次给出了将一个区间映射到正方形的连续满射构造。希尔伯特随后提出了一个几何上直观的递归版本，其多边形逼近会遍历一个越来越精细的网格。

佩阿诺映射是从单位区间到正方形的连续且满射映射。它并不与中间值定理相矛盾；它与“连续性能保持维数”这一天真的预期相矛盾。有限逼近会按照预定的顺序访问越来越精细的单元格，而只有其均匀极限映射才能到达每个点。该映射也必然不是一一对应的：多个参数值可能描述正方形中的同一个点。

维度取决于具体问题

从拓扑学意义上讲，定义域仍是一个一维区间，而图像则覆盖了一个二维正方形。因此，空间填充曲线说明了为什么拓扑、测度和标度维不能被视为可互换的概念。

参数域的拓扑维数为一，而其像是一个二维区域。因此，根据所讨论的定义和对象的不同，其维数表述也各不相同。任何有限的多边形逼近在行为上仍表现为一条普通直线；只有当逼近达到极限时，才会形成填充区域。该示例提醒读者，在未明确指定对象和定义的情况下，应避免使用“维数”这一表述，尤其是在同一图表中同时出现参数、像和逼近时。