分岐図

分岐図とは、一方の軸に制御パラメータを、もう一方の軸に反復システムの長期的な状態をプロットしたものです。ある図では、安定性が複雑性へと分岐していく様子が示されています。

ロジスティック写像の分岐図：パラメータが増加するにつれて、安定状態が繰り返し分裂し、その後カオス帯が現れます。画像: PAR · Wikimedia Commons · Public Domain

図の作成

ロジスティック写像の各パラメータ r について、過渡状態が消えるまで十分に長く反復を行い、その後の x 値をプロットします。安定した固定点は 1 本の分岐を生み出し、周期 2 の軌道は 2 本、次に 4 本、8 本と、ますます密度の高い帯を形成します。

各パラメータ r について、x↦rx(1−x) を反復計算し、初期の過渡状態を破棄した後、r より上の領域にその後の多くの状態を縦方向にプロットします。安定した固定点は 1 本の直線となり、周期 2 の軌道は 2 本の直線となり、カオスは密な帯を形成します。プロットされる状態の数は可視密度を制御するものであり、初期の挙動を除去する過渡状態の長さと混同しないでください。

カオスへの道のりにおける普遍性

周期倍増の間隔は、フェイゲンバウムに関連する一定の比率に向かって縮小していきます。同様のスケーリングは、幅広い種類の非線形システムで発生しており、この図は単なる1つの方程式の描写にとどまらないものとなっています。

多くの単峰型マップにおいて、連続する周期倍増間の間隔は、フェイゲンバウム定数 δ に近づく普遍的な比率に従って縮小します。普遍性とは、適切な条件下での共通の漸近的スケーリングを意味し、図形が同一であることを意味するものではありません。有限のピクセルグリッドでは、ごく一部の分岐のみを正確に解像することができます。したがって、デモンストレーションでは、スクリーンショットから定数を読み取るのではなく、計算されたパラメータ値を含める必要があります。

カオスにはウィンドウが含まれます

緻密なカオス的な帯は、周期的な窓によって断ち切られており、その中には目立つ周期3の領域も含まれています。高倍率で拡大すると、広範な分岐の様相が縮小された形で現れますが、有限のサンプリングでは狭い窓が見落とされたり、誤解を招くような隙間が生じたりする可能性があります。

カオス領域の内側には周期的なウィンドウが開き、その中には顕著な周期3のウィンドウも含まれます。その内部では、新たな倍増のカスケードが始まります。これらの「島」は、「パラメータが大きいほどカオスが増す」という説があまりにも大雑把である理由を示しています。長い過渡期を伴わない水平方向の拡大では、ウィンドウが一時的な状態で埋め尽くされてしまう可能性があります。ズーム率と観測時間は、共に増加させる必要があります。