2パラメータの実験
ロジスティック則 xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ) は、通常、パラメータ r を1つ変化させます。AABAB のような数列は、各反復ごとに水平パラメータ A と垂直パラメータ B のいずれかを選択し、2次元の安定場を生み出します。
AABAB のような記号列は、ロジスティック写像の各ステップで 2 つのパラメータのうちどちらを使用するかを決定します。各ピクセルは軸から両方のパラメータを読み取り、過渡的な値を破棄した後、対数導関数の平均を算出します。記号列を変更すると、安定島が再編成されます。したがって、これは単なる交換可能なプリセット名ではなく、シーンの不可欠な要素です。
色のソースとしての指数
Lyapunov 指数は、軌道に沿った導関数の大きさの対数の平均値を表します。負の値は局所的な収縮と安定した周期を示し、正の値は敏感なカオス的挙動を示します。未定義または発散するサンプルについては、明確なレンダリング方針が必要です。
Lyapunovの指数λは、軌道に沿ってlog|r(1−2x)|の平均値を表します。負の値は、サンプリングされた領域における収縮および安定した長期的な挙動を示し、正の値は敏感な分離を示します。λ=0付近では、推定値の収束が遅くなり、短い実行では斑点状の境界帯が形成されます。 カラースケールでは、ゼロを明確に表示し、正と負の範囲を任意の周期的グラデーションで混在させるのではなく、それぞれ個別に正規化すべきである。
「Feathers」は安定境界を指します。
一目でわかる翼や羽の模様は、周期的なウィンドウとカオスとの間の遷移をたどっています。グラデーションを用いることで劇的な表現が可能になりますが、それは測定された動的信号をマッピングしているだけであり、それ自体が幾何学的な形状を生成しているわけではありません。
羽のような形状は、2次元パラメータ平面上で周期的なウィンドウとカオス領域が互いに噛み合う箇所に現れます。これらは、描画されたテクスチャではなく、関連する安定性の等高線です。微細なウィンドウでは過渡現象が長引く可能性があるため、拡大表示に伴い観測長を長くする必要があります。即時プレビューは粗い場合がありますが、最終的な画像では指数推定値を継続的に精緻化する必要があります。
出典および参考文献
本記事は、以下の専門資料を原文のまま要約したものです。12年8月にアクセスし、編集上のレビューを行いました 2026。
- Lyapunov ExponentWolfram MathWorld
- Simple mathematical models with very complicated dynamicsNature
