分岔图

分岔图在一条轴上绘制控制参数，在另一条轴上绘制迭代系统的长期状态。其中一幅图展示了稳定性如何演变为复杂性。

对数映射的分岔图：随着参数增大，稳定态会反复分裂，随后出现混沌带。图片: PAR · Wikimedia Commons · Public Domain

构建图表

对于逻辑斯蒂映射中的每个参数 r，需进行足够长的迭代以消除暂态现象，随后绘制后期的 x 值。一个稳定的固定点会形成一条分支；一个周期为二的轨道会形成两条分支，随后是四条、八条，并逐渐形成越来越密集的带状结构。

对于每个参数 r，迭代 x↦rx(1−x)，舍弃初始瞬态，并在 r 上方垂直绘制多个后续状态。稳定的固定点会形成一条直线，二周期轨道会形成两条直线，而混沌则会产生一条密集的带状区域。绘制状态的数量决定了可见密度，不应与瞬态长度混淆——瞬态长度会去除早期行为。

周期倍增之间的间隔会逐渐缩小，趋向于与费根鲍姆相关的常数比。类似的缩放现象在广泛的非线性系统中普遍存在，因此该图表不仅仅是对一个方程的描述。

在许多单峰映射中，相邻周期倍增之间的间隔会按照一个趋近于费根鲍姆常数 δ 的普适比例而缩小。普适性指的是在适当条件下共享渐近缩放关系，而非图示完全相同。有限的像素网格只能准确分辨出少数几个分岔点。因此，演示应包含计算得出的参数值，而非从截图中读取常数。

密集的混沌带被周期性窗口所中断，其中包括一个醒目的三周期区域。放大观察会发现更小的分支结构，但有限的采样可能会遗漏狭窄的窗口，或产生误导性的空白。

在混沌区域内会打开周期性窗口，其中包括一个显著的周期三窗口。在其内部，新一轮的倍增过程开始展开。这些“岛屿”表明，“参数越大，混沌程度越高”这一说法过于粗略。如果没有更长的过渡期，仅进行水平放大可能会使窗口充满临时状态；因此，缩放程度与观测时间必须同步增加。

本文以原文措辞总结了以下专业资料来源。访问并经编辑审核于 12 年 2026 月。