一个双参数实验
对数规则 xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ) 通常会改变一个参数 r。诸如 AABAB 之类的序列在每次迭代中会在水平参数 A 和垂直参数 B 之间进行选择，从而生成一个二维稳定场。
诸如 AABAB 之类的符号序列决定了在对数映射的每个步骤中使用两个参数中的哪一个。每个像素从坐标轴读取这两个参数，舍弃一个瞬态值，然后对对数导数进行求平均。改变符号序列会重新组织稳定性岛。因此，它场景中不可或缺的一部分，而不仅仅是一个可互换的预设名称。
以指数作为颜色来源
Lyapunov 指数是对轨道上导数模的对数进行求平均值。负值表示局部收缩和稳定周期；正值表示敏感的混沌行为。未定义或发散的采样点需要明确的渲染策略。
Lyapunov 指数 λ 表示沿轨道对 log|r(1−2x)| 的平均值。负值表明在采样区域内存在收缩及稳定的长期行为；正值则表明存在敏感分离。在 λ=0 附近，该估计值收敛缓慢，且短时间运行会产生斑驳的边界带。 颜色标尺应清晰标注零点，并分别对正负范围进行归一化处理，而非将其混杂在任意的循环渐变中。
“羽状结构”即稳定性边界
那些醒目的翅膀和羽毛图案，勾勒出周期窗口与混沌之间的过渡。渐变效果虽能使最终效果更具戏剧性，但它只是对测得的动力学信号进行映射——并非自行生成几何图形。
这些羽毛状形态出现在二维参数平面上周期窗口与混沌区域相互交织之处。它们是相关稳定性的等值线，而非绘制的纹理。随着放大倍数的增加，观测长度必须相应延长，因为细小的窗口可能具有更长的瞬态过程。即时预览可能较为粗糙；最终图像必须持续优化指数估计值。
来源与延伸阅读
本文以原文措辞总结了以下专业资料来源。访问并经编辑审核于 12 年 2026 月。
- Lyapunov ExponentWolfram MathWorld
- Simple mathematical models with very complicated dynamicsNature
