龙曲线

龙曲线可通过重复折叠、旋转序列或仿射变换生成。尽管其生成规则是离散且精确的，但其蜿蜒盘旋的曲线却显得极具生命力。

具有分色阶数的龙曲线：通过重复折叠或 L 系统，可生成其特有的空间填充曲线。图片: Joehms22 · Wikimedia Commons · Public Domain

从一条纸条开始

将一条带状物沿同一方向反复折叠，将每道折痕展开成直角，并观察由此产生的折叠序列。通过连续逼近，可形成海格威龙（Heighway dragon）特有的成对螺旋。

将一条纸条沿同一方向反复折叠，然后将每道折痕展开成直角：结果是一系列左右交替的折痕。第 n 次折叠会产生 2ⁿ 个段，其方向可通过一个简单的递归词规则生成。纸质模型使局部指令具象化，而图示则揭示了这些指令如何累积成一个紧凑且日益嵌套的整体。

迭代函数系统可以通过两个经过旋转和缩放的副本来构造曲线。这揭示了其精确的自相似性，并将符号转折规则与平面变换联系起来。

相同的极限对象可由两个收缩的仿射映射（缩放因子为 1/√2）及相应的旋转共同生成。这种 IFS 视图比折叠法更直接地展现了自相似性：两个缩减后的副本结合形成下一阶段。因此，渲染器可以递归地生成线段，或通过混沌游戏采样点。在足够深的层次上，这两种方法都应能重现其特有的“龙形”。

极限龙曲线具有正面积，在相关构造中可铺砌平面，而曲线本身并不相交。当像素尺度过粗时，有限的栅格版本可能会出现重叠现象；这是一种显示伪影，而非其几何定义。

尽管海威龙（Heighway dragon）是由一条线的极限构成的，但其内部区域为正面积。合适的副本可以在保持分形边界的同时，无缝铺满平面。空间填充的内部与复杂的边缘之间的区别在视觉上至关重要：轮廓和填充瓷砖揭示了同一构造的不同特性，并需要不同的抗锯齿策略。

本文以原文措辞总结了以下专业资料来源。访问并经编辑审核于 12 年 2026 月。