二十份，按三分之一比例缩放
经过 n 步演算后，剩余 20ⁿ 个边长为 3⁻ⁿ 的立方体。相似维度为 log 20 / log 3，表示曲面与立体之间的相似度。
将立方体划分为 27 个子立方体，保留 20 个，并移除中心及六个面心立方体。在每个保留的子立方体内重复该操作，可得到 20ⁿ 个边长为 3⁻ⁿ 的立方体。 因此，相似维数为 log 20/log 3，约等于 2.727。从几何角度看，尽管每个有限阶段都是由普通的三维立方体构成的，但该“海绵”结构介于曲面与体积之间。
体积消失
每个阶段都会保留前一阶段体积的 20/27，因此极限体积为零。与此同时，每一步都会出现新的通道和曲面，此时简单的表面积直观理解已不再适用于传统实体的情况。
在每个阶段，体积都会乘以 20/27，并趋近于零。表面积则会增加，因为每次去除都会露出新的内部面。物理模型受限于材料厚度和制造分辨率；而数学极限则会持续下去。因此，打印出的门格海绵并非极限海绵本身，而是一个经过精心选择的有限阶段，其支撑杆足够厚，能够保持结构完整。
一条具有雕塑般生命力的普适曲线
理想的门格海绵具有深奥的拓扑特性，而打印出的模型只是有限的近似。建筑与设计借鉴了其视觉上的多孔性，但结构上的实用性必须通过工程分析来评估，而非从数学极限中推断出来。
门格海绵在拓扑结构上非常丰富：它包含了广泛类别的一维曲线的副本，并被视为一种“普适曲线”。这是一种嵌入性陈述，并非指每条曲线在其表面上都会以一条显而易见的直线形式出现。该雕塑有助于揭示相互交错的孔洞，而普适性则需要从连通性和维度的角度进行更抽象的理解。
来源与延伸阅读
本文以原文措辞总结了以下专业资料来源。访问并经编辑审核于 12 年 2026 月。
- Menger SpongeWolfram MathWorld
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ApplicationsWiley
