减法构三角形或混沌游戏
将一个三角形划分为四个全等三角形，并移除中心三角形，然后对剩余的三个三角形重复此操作。在混沌游戏中也会出现相同的极限：反复从当前点向随机选定的顶点移动一半距离。
该三角形在每个阶段都会保留三个半比例的副本，从而形成相似维度 log 3/log 2。混沌游戏通过一条出人意料的路径到达了相同的集合：随机选择一个顶点，并从当前点向该顶点移动一半的距离。经过一段过渡期后，尽管选择是随机的，但这些点几乎完全位于谢尔皮斯基三角形上。收缩过程决定了几何形状；随机性仅用于分布样本。
地毯与维度
该地毯将一个正方形划分为九个部分，并移除中心部分，保留八个按三分之一比例缩放的副本。其相似维数为 log 8 / log 3，而其面积趋近于零。
该地毯将九个正方形中的八个保持在三分之一的比例尺，因此其相似维数为 log 8/log 3。在每个阶段，其面积都会乘以 8/9，并在极限情况下趋于零。然而，该集合仍然连通，并包含跨越多个尺度路径。 这两个量描述了构造的不同方面：面积衡量所占比例，而维数则衡量细节覆盖范围的增长。
结构在缺失区域中得以保留
三角形通过点保持连通；地毯中包含围绕各个构造尺度孔洞的路径。这些例子表明，面积、连通性和维度复杂性描述了一个集合的不同方面。
中央孔洞并非孤立的缺陷；它会在每个剩余的副本内部重复出现。即使总面积趋近于零，其图案依然存在。在有限的图像中，这种效果在很大程度上取决于构建深度：迭代次数过少只会显示粗糙的间隙，而迭代次数过多则会产生摩尔纹和被吞没的线条。成功的渲染应使构建深度与像素网格相匹配。
来源与延伸阅读
本文以原文措辞总结了以下专业资料来源。访问并经编辑审核于 12 年 2026 月。
- Sierpiński SieveWolfram MathWorld
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ApplicationsWiley
