아폴로니우스 가스켓

서로 접하는 네 개의 원으로 시작하여, 한 원이 다른 원들을 둘러싸도록 합니다. 모든 곡선형 삼각형 틈새에는 또 다른 접하는 원이 들어갈 수 있으며, 이러한 삽입 과정을 반복하면 아폴로니우스 가스켓이 만들어집니다.

아폴로니우스 가스켓의 구성: 서로 접하는 세 개의 원 사이의 모든 틈새에 추가적인 접선이 삽입됩니다.이미지: Stevo-88 · Wikimedia Commons · Public Domain

데카르트의 원 정리

서로 접하는 네 개의 원에 대해, 이들의 부호 있는 곡률은 데카르트의 정리로 알려진 2차 관계식을 만족합니다. 호환되는 세 개의 원이 주어지면, 이 정리는 가능한 네 번째 곡률을 결정하며 재귀적 생성을 가능하게 합니다.

서로 접하는 세 개의 원에 대해, 데카르트의 정리에 따르면 이들의 곡률은 bᵢ=1/rᵢ의 관계를 이룹니다. 네 번째 접원은 (b₁+b₂+b₃+b₄)²=2(b₁²+b₂²+b₃²+b₄²)를 만족합니다. 일반적으로 두 가지 해가 존재합니다: 틈새 안쪽의 작은 원과 이를 둘러싼 원입니다. 새로운 틈새마다 계산을 반복하면 반지름이나 위치를 추측할 필요 없이 패킹을 확장할 수 있습니다.

채우지 않고 채우기

새로운 원들은 점점 더 작은 틈새를 차지합니다. 이 원들의 합집합은 프랙탈 구조를 지닌 잔여 집합 근처에서 밀집되는 반면, 노출된 틈새의 면적은 이상적인 한계에서 0이 됩니다.

새로운 원은 곡선형 삼각형 틈의 일부를 차지하지만, 세 개의 더 작은 틈을 생성합니다. 극한에서 남은 집합의 면적은 0이 되는 반면, 경계에는 무한히 많은 원이 포함됩니다. 유한한 그래픽은 반지름이나 픽셀 크기에 따라 중단되어야 합니다. 그렇지 않으면 서브픽셀 크기의 원들이 노이즈로 변합니다. 면적 채우기와 시각적 완결성은 다릅니다. 수학적 채움은 계속되지만, 이미지는 의미 있는 스케일 제한이 필요합니다.

기하학과 산술의 만남

초기 곡률이 적절하게 선택되면, 패킹에 포함된 모든 원은 정수 곡률을 가질 수 있습니다. 이러한 정수 패킹은 시각적 재귀를 디오판토스 방정식, 군 작용 및 현대 수론과 연결합니다.

정수 곡률에서 시작하여, 재귀적인 데카르트 연산을 통해 계속해서 정수 곡률을 생성할 수 있습니다. 이는 디오판토스 방정식 및 군 작용과 예상치 못한 연관성을 만들어냅니다. 다채로운 원형 이미지만으로는 이러한 산술적 관계를 자동으로 파악하기 어렵지만, 곡률에 라벨을 붙이거나 잔류류를 조사하면 그 관계가 드러납니다. 이 예시는 겉보기에는 기초적인 접선 기하학과 그림 뒤에 숨겨진 심오한 수론을 결합하고 있습니다.