笛卡尔圆定理
对于四个相互相切的圆，其带符号的曲率满足一个被称为笛卡尔定理的二次关系。给定三个兼容的圆，该定理可确定第四个圆的可能曲率，并支持递归生成。
对于三个相互相切的圆，笛卡尔定理将它们的曲率关系表述为 bᵢ=1/rᵢ。第四个相切圆满足 (b₁+b₂+b₃+b₄)²=2(b₁²+b₂²+b₃²+b₄²)。 通常有两个解：间隙内的较小圆以及一个包围该圆的圆。在每个新间隙中重复该计算，即可在不猜测半径或位置的情况下扩展填充。
无填充的堆积
新的圆圈填补着越来越小的间隙。当它们的并集靠近一个具有分形结构的残余集时，其密度会逐渐增大，而在理想极限下，未被覆盖的间隙面积为零。
每个新圆都会占据曲线三角形间隙的一部分，但同时会产生三个较小的间隙。在极限情况下，剩余集合的面积为零，而边界上包含无穷多个圆。有限的图形必须根据半径或像素大小停止绘制；否则，亚像素圆会变成噪点。面积填充与视觉完整性是不同的：数学上的填充会持续进行，而图像则需要一个有意义的尺度截断点。
几何与算术的交汇
当初始曲率选择得当，排列中的每个圆都可以具有整数曲率。这些整数排列将视觉递归与丢番图方程、群作用及现代数论联系起来。
从整数曲率出发，递归的笛卡尔运算可以持续产生整数曲率。这与丢番图方程和群作用之间形成了意想不到的联系。色彩斑斓的圆图并不能直接揭示这种算术关系；只有在给曲率标注标签或考察余类时，这种关系才会显现出来。该示例将看似基础的切线几何与图景背后的深奥数论结合在一起。
来源与延伸阅读
本文以原文措辞总结了以下专业资料来源。访问并经编辑审核于 12 年 2026 月。
- Apollonian GasketWolfram MathWorld
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ApplicationsWiley
