A junta apolónia
Comece com quatro círculos mutuamente tangentes, de forma a que um rodeie os outros. Cada intervalo triangular curvo admite outro círculo tangente, e a repetição da inserção cria uma junta apolónia.
Teorema do círculo de Descartes
Para quatro círculos mutuamente tangentes, as suas curvaturas com sinal satisfazem uma relação quadrática conhecida como teorema de Descartes. Dados três círculos compatíveis, este teorema determina as possíveis curvaturas do quarto círculo e permite a geração recursiva.
Para três círculos mutuamente tangentes, o teorema de Descartes relaciona as suas curvaturas bᵢ=1/rᵢ. Um quarto círculo tangente satisfaz (b₁+b₂+b₃+b₄)²=2(b₁²+b₂²+b₃²+b₄²). Normalmente, existem duas soluções: o pequeno círculo dentro do espaço vazio e um círculo circundante. Repetir o cálculo em cada novo espaço vazio faz crescer o empacotamento sem ter de adivinhar nem o raio nem a posição.
Empacotamento sem preenchimento
Novos círculos ocupam lacunas cada vez menores. A sua união torna-se densa perto de um conjunto residual cuja estrutura é fractal, enquanto a junta descoberta tem área nula no limite ideal.
Cada novo círculo ocupa parte de uma lacuna triangular curva, mas cria três lacunas mais pequenas. No limite, o conjunto restante tem área zero, enquanto o contorno contém infinitos círculos. Um gráfico finito tem de ser limitado pelo raio ou pelo tamanho do pixel; caso contrário, os círculos subpixelares tornam-se ruído. O preenchimento da área e a completude visível são diferentes: o empacotamento matemático continua, enquanto uma imagem necessita de um limite de escala significativo.
A geometria encontra a aritmética
Quando as curvaturas iniciais são escolhidas adequadamente, cada círculo no empacotamento pode ter uma curvatura inteira. Estes empacotamentos integrais ligam a recursão visual às equações diofantinas, às ações de grupo e à teoria moderna dos números.
Partindo de curvaturas inteiras, a operação recursiva de Descartes pode continuar a produzir curvaturas inteiras. Isto cria uma ligação inesperada com equações diofantinas e ações de grupo. As imagens de círculos coloridos não revelam automaticamente essa aritmética; esta surge quando as curvaturas são identificadas ou as classes de resíduos são analisadas. O exemplo associa a geometria da tangência, de aspeto elementar, à teoria dos números profunda que está por trás da imagem.
Fontes e leituras complementares
Este artigo resume as seguintes fontes especializadas, utilizando a redação original. Acedido e revisto editorialmente em 12 de agosto 2026.
- Apollonian GasketWolfram MathWorld
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ApplicationsWiley
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