Apollonova těsnící vložka
Začněte se čtyřmi vzájemně se dotýkajícími kruhy, přičemž jeden obklopuje ostatní. Do každé zakřivené trojúhelníkové mezery lze vložit další dotýkající se kruh a opakovaným vkládáním vzniká Apollonova vložka.
Descartova věta o kruhu
U čtyř vzájemně se dotýkajících kružnic splňují jejich znaménkové křivosti kvadratický vztah známý jako Descartova věta. Při daných třech kompatibilních kružnicích určuje možné hodnoty čtvrté křivosti a umožňuje rekurzivní generování.
U tří vzájemně se dotýkajících kružnic Descartova věta vyjadřuje vztah mezi jejich křivostmi jako bᵢ=1/rᵢ. Čtvrtá dotýkající se kružnice splňuje rovnici (b₁+b₂+b₃+b₄)²=2(b₁²+b₂²+b₃²+b₄²). Obvykle existují dvě řešení: malý kruh uvnitř mezery a obklopující kruh. Opakováním výpočtu v každé nové mezeře se balení rozšiřuje, aniž by bylo nutné odhadovat poloměr či polohu.
Balení bez vyplnění
Nové kruhy vyplňují stále menší mezery. Jejich sjednocení se stává hustým v blízkosti zbytkové množiny, jejíž struktura je fraktální, zatímco odkryté těsnění má v ideálním limitu nulovou plochu.
Každý nový kruh zabírá část zakřivené trojúhelníkové mezery, ale vytváří tři menší mezery. V mezním případě má zbývající množina nulovou plochu, zatímco hranice obsahuje nekonečně mnoho kruhů. Konečný grafický výstup musí být omezen poloměrem nebo velikostí pixelu; jinak se subpixelové kruhy stanou šumem. Vyplnění plochy a viditelná úplnost se liší: matematické zaplnění pokračuje, zatímco obraz vyžaduje smysluplné ohraničení měřítka.
Geometrie se setkává s aritmetikou
Jsou-li počáteční křivosti zvoleny vhodně, může mít každý kruh v uspořádání celočíselnou křivost. Tato celočíselná uspořádání propojují vizuální rekurzi s Diofantovými rovnicemi, grupovými akcemi a moderní teorií čísel.
Vycházíme-li z celočíselných křivek, může rekurzivní Descartova operace pokračovat a vytvářet další celočíselné křivky. Tím vzniká nečekaná souvislost s Diofantovými rovnicemi a grupovými akcemi. Barevné obrázky kruhů tuto aritmetiku automaticky neodhalují; vyjeví se až při označení křivek nebo při zkoumání zbytkových tříd. Tento příklad propojuje na první pohled elementární geometrii tečen s hlubokou teorií čísel, která se skrývá za obrázkem.
Zdroje a další literatura
Tento článek shrnuje následující odborné zdroje v původním znění. Přístup a redakční revize 12 srpen 2026.
- Apollonian GasketWolfram MathWorld
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ApplicationsWiley
Pokračujte v této myšlence
Fraktální dimenze
Co měří fraktální dimenze, jak funguje počítání krabic a proč může mít jeden objekt více než jednu smysluplnou dimenzi.
Sierpińskiho trojúhelník a koberec
Jak opakované odstraňování vytváří přesnou sebepodobnost, mizející plochu a most od Cantorovy množiny k vyšším dimenzím.
Fraktální umění: matematika jako materiál
Jak umělci proměňují vzorce, hledání parametrů, barvy, textury, osvětlení a rozhodnutí o exportu v autorské obrázky.