アポロニアン・ガスケット

互いに接する4つの円から始め、そのうち1つが他の円を囲むようにします。曲線状の三角形の隙間には、それぞれ別の接円を配置することができ、この挿入を繰り返すことでアポロニウス・ガスケットが形成されます。

アポロニウス・ガスケットの作図：互いに接する3つの円の間にあるすべての隙間に、さらに接円が挿入されます。画像: Stevo-88 · Wikimedia Commons · Public Domain

デカルトの円定理

互いに接する4つの円について、それらの符号付き曲率は、デカルトの定理として知られる二次関係式を満たします。互いに相容れる3つの円が与えられると、この定理は4つ目の曲率の可能な値を決定し、再帰的な生成を可能にします。

互いに接する3つの円について、デカルトの定理はそれらの曲率を bᵢ=1/rᵢ と関連づけます。4つ目の接円は、(b₁+b₂+b₃+b₄)²=2(b₁²+b₂²+b₃²+b₄²) を満たします。通常、2つの解が存在します。それは、隙間の内側にある小さな円と、それを囲む円です。新しい隙間ごとに計算を繰り返すことで、半径や位置を推測することなく、パッキングを拡大していくことができます。

隙間を埋めないパッキング

新しい円は、ますます小さな隙間を埋めていきます。それらの和集合は、フラクタル構造を持つ残余集合の近くで密になり、一方、覆われていない隙間の面積は、理想的な極限においてゼロになります。

新しい円は、曲線状の三角形の隙間の一部を占める一方で、3つのより小さな隙間を作り出します。極限において、残りの集合の面積はゼロになりますが、境界には無限個の円が含まれます。有限のグラフィックは、半径またはピクセルサイズによって終了させなければなりません。そうしないと、サブピクセルサイズの円がノイズとなってしまいます。面積の充填と視覚的な完全性は異なります。数学的な充填は継続しますが、画像には意味のあるスケールの切り上げが必要です。

幾何学と算術の融合

初期曲率が適切に選択されれば、パッキングを構成するすべての円は整数曲率を持つことができます。こうした整数パッキングは、視覚的な再帰とディオファントス方程式、群作用、そして現代数論を結びつけます。

整数の曲率から始めると、再帰的なデカルト演算によって整数の曲率を生成し続けることができます。これにより、ディオファントス方程式や群作用との予期せぬ関連性が生まれます。色鮮やかな円の画像からは、その算術的な関係は直感的には分かりませんが、曲率にラベルを付けたり、剰余類を調べたりすることで明らかになります。この例は、一見初歩的に見える接線幾何学と、その背後にある深遠な数論とを結びつけています。