시에르핀스키 삼각형과 카펫

시에르핀스키 구조는 선택된 부분 도형을 반복적으로 유지하고 나머지는 제거합니다. 이 구조의 단순한 격자 덕분에 스케일링, 차원 및 연결성이 유난히 잘 드러납니다.

시에르핀스키 삼각형의 일곱 번째 반복: 세 개의 축소된 사본이 다음 단계를 형성하며, 중앙의 빈 공간은 비워 둡니다.이미지: PiAndWhippedCream · Wikimedia Commons · Public Domain

뺄셈을 통한 삼각형 또는 카오스 게임

삼각형을 네 개의 전등한 삼각형으로 나눈 뒤 중심을 제거하고, 남은 세 개에 대해서도 같은 과정을 반복합니다. 카오스 게임에서도 동일한 극한이 나타납니다. 현재 지점에서 무작위로 선택된 꼭짓점을 향해 절반 거리만큼 반복적으로 이동하는 것입니다.

이 삼각형은 모든 단계에서 반 크기의 사본 세 개를 유지하며, 이로 인해 유사 차원 log 3/log 2을 갖게 됩니다. 카오스 게임은 놀랍도록 다른 경로를 통해 동일한 집합에 도달합니다. 즉, 임의의 꼭짓점을 선택하고 현재 지점에서 그 지점까지의 절반 거리만큼 이동하는 방식입니다. 일시적인 변동 기간이 지나면, 임의의 선택에도 불구하고 점들은 거의 전적으로 시에르핀스키 삼각형 위에 위치하게 됩니다. 수축이 기하학적 구조를 결정하며, 무작위성은 단지 표본을 분포시킬 뿐입니다.

카펫과 차원

이 카펫은 정사각형을 9개의 부분으로 나누고 중심을 제거한 뒤, 1/3 크기로 축소된 8개의 복사본을 남깁니다. 이 카펫의 유사성 차원은 log 8 / log 3이며, 면적은 0으로 수렴합니다.

이 카펫은 9개의 정사각형 중 8개를 1/3 크기로 유지하므로, 그 유사 차원은 log 8/log 3입니다. 각 단계에서 그 면적은 8/9로 곱해지며, 극한에서 0이 됩니다. 그러나 이 집합은 연결성을 유지하며 여러 스케일을 가로지르는 경로를 포함하고 있습니다. 이 두 수치는 구성의 서로 다른 측면을 설명합니다. 면적은 점유 비율을 측정하는 반면, 차원은 세부 사항의 커버리지 증가를 측정합니다.

결손 영역에서도 구조는 유지됩니다

삼각형은 점들을 통해 연결된 상태를 유지하며, 카펫에는 모든 구성 스케일의 구멍을 둘러싼 경로들이 포함되어 있습니다. 이러한 예시들은 면적, 연결성 및 차원적 복잡성이 집합의 서로 다른 측면을 설명한다는 것을 보여줍니다.

중앙의 구멍은 고립된 결함이 아니라, 남아 있는 모든 복제본 내부에서 반복되는 구조입니다. 이 패턴은 전체 면적이 0에 가까워지더라도 유지됩니다. 유한한 이미지에서 이 효과는 단계 깊이에 크게 좌우됩니다. 반복 횟수가 너무 적으면 거친 틈만 나타나고, 너무 많으면 모이어 현상과 선이 사라지는 현상이 발생합니다. 성공적인 렌더링은 구성 깊이를 픽셀 그리드에 맞추는 것입니다.