Triângulo e tapete de Sierpiński
As construções de Sierpiński mantêm repetidamente as subformas selecionadas e removem o resto. As suas grelhas simples tornam o escalonamento, a dimensão e a conectividade invulgarmente visíveis.
Triângulo por subtração ou jogo do caos
Divida um triângulo em quatro triângulos congruentes e remova o centro; depois, repita o processo nos três restantes. O mesmo limite surge no jogo do caos: desloque-se repetidamente até meio caminho entre o ponto atual e um vértice escolhido aleatoriamente.
O triângulo mantém três cópias à meia escala em cada fase, resultando numa dimensão de semelhança log 3/log 2. O jogo do caos atinge o mesmo conjunto por um caminho surpreendentemente diferente: escolha um vértice aleatoriamente e desloque-se até meio caminho entre o ponto atual e esse vértice. Após um período de transição, os pontos situam-se quase na totalidade no triângulo de Sierpiński, apesar das escolhas aleatórias. As contrações determinam a geometria; a aleatoriedade apenas distribui amostras.
Tapete e dimensão
O tapete divide um quadrado em nove partes e remove o centro, mantendo oito cópias à escala de um terço. A sua dimensão de similaridade é log 8 / log 3, enquanto a sua área tende para zero.
O tapete mantém oito dos nove quadrados à escala de um terço, pelo que a sua dimensão de similaridade é log 8/log 3. A sua área é multiplicada por 8/9 em cada fase e anula-se no limite. No entanto, o conjunto permanece conexo e contém percursos que atravessam várias escalas. As duas grandezas descrevem aspetos diferentes da construção: a área mede a proporção ocupada, enquanto a dimensão mede o crescimento da cobertura dos detalhes.
A estrutura mantém-se mesmo com a área em falta
O triângulo permanece ligado através de pontos; o tapete contém percursos em torno de buracos em todas as escalas de construção. Estes exemplos mostram que a área, a conectividade e a complexidade dimensional descrevem diferentes aspetos de um conjunto.
O buraco central não é um defeito isolado; repete-se no interior de todas as cópias restantes. O seu padrão mantém-se mesmo quando a área total tende para zero. Numa imagem finita, o efeito depende fortemente da profundidade da construção: um número demasiado reduzido de iterações mostra apenas lacunas grosseiras, enquanto um número excessivo cria efeito moiré e linhas engolidas. Uma renderização bem-sucedida adapta a profundidade da construção à grelha de píxeis.
Fontes e leituras complementares
Este artigo resume as seguintes fontes especializadas, utilizando a redação original. Acedido e revisto editorialmente em 12 de agosto 2026.
- Sierpiński SieveWolfram MathWorld
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ApplicationsWiley
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