Sierpińskiho trojúhelník a koberec
Sierpińského konstrukce opakovaně zachovávají vybrané dílčí tvary a zbytek odstraňují. Díky jejich jednoduchým mřížkám jsou škálování, rozměry a propojenost neobvykle dobře viditelné.
Trojúhelník odčítáním nebo chaotická hra
Rozdělte trojúhelník na čtyři shodné trojúhelníky a odstraňte střed, poté postup opakujte u zbývajících tří. Stejná hranice se objevuje i v chaotické hře: opakovaně se pohybujte v polovině vzdálenosti od aktuálního bodu směrem k náhodně vybranému vrcholu.
Trojúhelník uchovává v každé fázi tři kopie v polovičním měřítku, čímž vzniká dimenze podobnosti log 3/log 2. Chaotická hra dosahuje stejné množiny překvapivě odlišnou cestou: náhodně vyberte vrchol a posuňte se z aktuálního bodu o polovinu vzdálenosti směrem k němu. Po přechodné fázi leží body navzdory náhodným volbám téměř výlučně na Sierpińského trojúhelníku. Geometrii určují kontrakce; náhodnost pouze rozděluje vzorky.
Koberec a rozměr
Koberec rozděluje čtverec na devět částí a odstraní střed, přičemž zachová osm kopií v měřítku jedné třetiny. Jeho dimenze podobnosti je log 8 / log 3, zatímco jeho plocha se blíží nule.
Koberec zachovává osm z devíti čtverců v měřítku jedné třetiny, takže jeho dimenze podobnosti je log 8/log 3. Jeho plocha se v každé fázi násobí hodnotou 8/9 a v limitu se vytrácí. Množina však zůstává souvislá a obsahuje cesty napříč mnoha měřítky. Tyto dvě veličiny popisují různé aspekty konstrukce: plocha měří zabraný podíl, zatímco dimenze měří nárůst pokrytí detaily.
Struktura zůstává zachována i přes chybějící oblast
Trojúhelník zůstává propojený prostřednictvím bodů; koberec obsahuje cesty kolem otvorů v každém měřítku konstrukce. Tyto příklady ukazují, že plocha, propojenost a dimenzionální složitost popisují různé aspekty množiny.
Středový otvor není izolovanou vadou; opakuje se uvnitř každé zbývající kopie. Jeho vzor přetrvává i tehdy, když se celková plocha blíží nule. V konečném obrázku závisí tento efekt silně na hloubce konstrukce: příliš málo iterací ukazuje pouze hrubé mezery, zatímco příliš mnoho iterací vytváří moaré a pohlcené čáry. Úspěšné vykreslení přizpůsobuje hloubku konstrukce pixelové mřížce.
Zdroje a další literatura
Tento článek shrnuje následující odborné zdroje v původním znění. Přístup a redakční revize 12 srpen 2026.
- Sierpiński SieveWolfram MathWorld
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ApplicationsWiley
Pokračujte v této myšlence
Cantorova množina
Navždy odstraňte střední třetiny a objevte nespočetnou množinu s nulovou délkou, samopodobností a dimenzí log 2/log 3.
Mengerova houba
Prozkoumejte trojrozměrný ekvivalent Sierpińského koberce s nulovým limitním objemem a neomezenou složitostí povrchu.
Fraktální dimenze
Co měří fraktální dimenze, jak funguje počítání krabic a proč může mít jeden objekt více než jednu smysluplnou dimenzi.