シェルピンスキーの三角形とカーペット

シェルピンスキーの構成では、選択された部分形状を繰り返し保持し、残りを除去します。その単純なグリッド構造により、スケーリング、次元、および連結性が極めて明確に可視化されます。

シェルピンスキーの三角形の第7反復：3つの縮小されたコピーが次の段階を形成し、中央の隙間は空いたままになります。画像: PiAndWhippedCream · Wikimedia Commons · Public Domain

減算による三角形、またはカオスゲーム

三角形を4つの合同な三角形に分割し、中心を取り除き、残りの3つについても同じ操作を繰り返します。カオスゲームにおいても同様の極限が現れます。現在の点からランダムに選ばれた頂点に向かって、その半分の距離だけ繰り返し移動するのです。

この三角形は、各段階で半分のスケールで3つのコピーを保持しており、相似次元 log 3/log 2 となります。カオスゲームは、驚くほど異なる経路を通じて同じ集合に到達します。それは、ランダムに頂点を選び、現在の点からその頂点に向かって半分の距離だけ移動するというものです。過渡期を経ると、ランダムな選択にもかかわらず、点はほぼ完全にシェルピンスキーの三角形上に配置されます。収縮が幾何学を決定し、ランダム性は単にサンプルを分布させるに過ぎません。

カーペットと次元

このカーペットは正方形を9つの部分に分割し、中心を除去して、3分の1のスケールで8つのコピーを残します。その相似次元は log 8 / log 3 であり、その面積はゼロに近づきます。

このカーペットは、9つの正方形のうち8つを3分の1のスケールで保持しているため、その相似次元は log 8/log 3 となります。その面積は各段階で 8/9 倍となり、極限ではゼロになります。しかし、この集合は連結性を保ち、多くのスケールにまたがる経路を含んでいます。これら2つの量は、この構成の異なる側面を表している。すなわち、面積は占有される割合を測るものであり、次元は細部のカバレッジの増加を測るものである。

構造は欠落した領域を乗り越える

三角形は点を通じてつながったままです。カーペットには、あらゆる構成スケールにおける穴の周囲を巡る経路が含まれています。これらの例は、面積、連結性、および次元的な複雑さが、集合の異なる側面を表していることを示しています。

中央の穴は孤立した欠陥ではなく、残りのすべてのコピー内部で繰り返されます。そのパターンは、総面積がゼロに近づく場合でも維持されます。有限の画像において、この効果はステージの深さに大きく依存します。反復回数が少なすぎると粗い隙間しか現れず、多すぎるとモアレや線が飲み込まれる現象が発生します。成功したレンダリングでは、構築の深さがピクセルグリッドと一致しています。