Lyapunov-Fraktale
Ein Lyapunov-Fraktal legt zwei Parameterwerte auf die Achsen, wechselt sie nach einer symbolischen Folge und färbt jedes Paar nach der mittleren Empfindlichkeit seines Orbits.
Ein Experiment mit zwei Parametern
Die logistische Regel xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ) verändert gewöhnlich einen Parameter r. Eine Folge wie AABAB wählt in jeder Iteration zwischen dem waagerechten Parameter A und dem senkrechten B und erzeugt ein zweidimensionales Stabilitätsfeld.
Eine Symbolfolge wie AABAB legt fest, welcher der beiden Parameter in jedem Schritt der logistischen Abbildung verwendet wird. Für jedes Pixel werden beide Parameter aus den Achsen gelesen, eine Einschwingphase verworfen und anschließend das mittlere Logarithmusmaß der Ableitung berechnet. Schon eine andere Symbolfolge ordnet Stabilitätsinseln neu. Sie ist daher ein wesentlicher Bestandteil der Szene und nicht bloß ein austauschbarer Presetname.
Der Exponent als Farbquelle
Der Lyapunov-Exponent mittelt den Logarithmus des Ableitungsbetrags entlang des Orbits. Negative Werte zeigen lokale Kontraktion und stabile Zyklen, positive empfindliches chaotisches Verhalten. Undefinierte oder divergente Stichproben brauchen eine ausdrückliche Darstellungsregel.
Der Lyapunov-Exponent λ mittelt log|r(1−2x)| entlang des Orbits. Negative Werte bedeuten im untersuchten Regime Kontraktion und stabile Langzeitbewegung, positive Werte sensitive Trennung. Nahe λ=0 konvergiert die Schätzung langsam; zu kurze Läufe erzeugen gesprenkelte Grenzbänder. Eine Farbskala sollte null klar markieren und positive sowie negative Bereiche getrennt normalisieren, statt sie in einem beliebigen zyklischen Verlauf zu vermischen.
Federn sind Stabilitätsgrenzen
Die charakteristischen Flügel und Federn zeichnen Übergänge zwischen periodischen Fenstern und Chaos. Ein Farbverlauf kann sie dramatisieren, bildet aber ein gemessenes dynamisches Signal ab – er erzeugt die Geometrie nicht selbst.
Die federartigen Formen liegen dort, wo Periodenfenster und chaotische Bereiche in der zweidimensionalen Parameterfläche ineinandergreifen. Sie sind keine gemalten Texturen, sondern Konturen ähnlicher Stabilität. Beim Zoomen muss die Beobachtungsdauer wachsen, weil feine Fenster längere Transienten besitzen können. Ein sofortiges Vorschaubild darf grob sein; die finale Darstellung muss die Exponentenschätzung weiter verfeinern.
Quellen und Vertiefung
Die Darstellung fasst die folgenden Fachquellen in eigenen Worten zusammen. Abruf und redaktionelle Prüfung: 12. August 2026.
- Lyapunov ExponentWolfram MathWorld
- Simple mathematical models with very complicated dynamicsNature
Den Gedanken weiterverfolgen
Das Bifurkationsdiagramm
Das Diagramm der logistischen Abbildung lesen – vom stabilen Punkt über Periodenverdopplung bis zu Chaos und periodischen Fenstern.
Chaos ist deterministisch
Warum deterministische Gleichungen unvorhersagbar werden können, wie Empfindlichkeit sich von Zufall unterscheidet und wo Fraktale im Phasenraum entstehen.
Fraktalfärbung jenseits von Iterationsbändern
Ein Überblick zu geglätteter Iteration, Potential, Distanz, Winkel, Orbit-Fallen, Innenfärbung und wahrnehmungsgerechten Verläufen.