Lyapunov fraktály
Fraktál Lyapunov přiřazuje osám dvě hodnoty parametrů, střídá je podle symbolické sekvence a každou dvojici obarví podle průměrné citlivosti dráhy.
Experiment se dvěma parametry
Logistické pravidlo xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ) obvykle mění jeden parametr r. Sekvence typu AABAB volí při každé iteraci mezi horizontálním parametrem A a vertikálním parametrem B, čímž vytváří dvourozměrné stabilizační pole.
Sekvence symbolů, jako například AABAB, určuje, který ze dvou parametrů se použije v každém kroku logistické mapy. Každý pixel načte oba parametry z os, vyřadí přechodovou hodnotu a poté vypočítá průměr logaritmické derivace. Změna sekvence symbolů přeskupuje ostrovy stability. Jedná se tedy o podstatnou součást scény, nikoli pouze o zaměnitelný název předvolby.
Exponent jako zdroj barvy
Exponent Lyapunov představuje průměr logaritmu velikosti derivace podél dráhy. Záporné hodnoty označují lokální kontrakci a stabilní cykly; kladné hodnoty označují citlivé chaotické chování. Nedefinované nebo divergentní vzorky vyžadují explicitní pravidla renderování.
Exponent λ Lyapunov představuje průměr log|r(1−2x)| podél dráhy. Záporné hodnoty naznačují kontrakci a stabilní dlouhodobé chování ve vzorkovaném režimu; kladné hodnoty naznačují citlivé oddělení. V blízkosti λ=0 se odhad pomalu sbližuje a krátké běhy vytvářejí skvrnité okrajové pruhy. Barevná stupnice by měla jasně označovat nulu a normalizovat kladné a záporné rozsahy odděleně, namísto jejich smíchání v libovolném cyklickém přechodu.
„Feathers“ jsou hranice stability.
Rozpoznatelná křídla a peří zachycují přechody mezi periodickými okny a chaosem. Přechodová barva může výsledek dramaticky zvýraznit, ale pouze mapuje naměřený dynamický signál – sama o sobě geometrii nevytváří.
Tvary připomínající peří se vyskytují tam, kde se v dvourozměrné parametrické rovině prolínají periodická okna a chaotické oblasti. Jedná se o kontury související stability, nikoli o namalovanou texturu. Délka pozorování se při zvětšení musí prodlužovat, protože jemná okna mohou mít delší přechodové jevy. Okamžitý náhled může být hrubý; konečný obrázek musí pokračovat ve zpřesňování odhadu exponentu.
Zdroje a další literatura
Tento článek shrnuje následující odborné zdroje v původním znění. Přístup a redakční revize 12 srpen 2026.
- Lyapunov ExponentWolfram MathWorld
- Simple mathematical models with very complicated dynamicsNature
Pokračujte v této myšlence
Bifurkační diagram
Prostudujte si bifurkační diagram logistické mapy od stabilního bodu přes zdvojnásobení periody, chaos až po periodická okna.
Chaos je deterministický
Proč se deterministické rovnice mohou stát nepředvídatelnými, v čem se citlivost liší od náhodnosti a kde fraktály vstupují do fázového prostoru.
Fraktální kolorace nad rámec iteračních pásem
Průvodce hladkou iterací, potenciálem, vzdáleností, úhlem, orbitálními pastmi, vybarvováním vnitřku a percepčními přechody.