Lyapunov frattali
Un frattale Lyapunov assegna due valori di parametro agli assi, li alterna secondo una sequenza simbolica e colora ciascuna coppia in base alla sensibilità media dell’orbita.
Un esperimento a due parametri
La regola logistica xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ) varia normalmente un parametro r. Una sequenza come AABAB sceglie tra il parametro orizzontale A e il parametro verticale B ad ogni iterazione, producendo un campo di stabilità bidimensionale.
Una sequenza di simboli come AABAB determina quale dei due parametri viene utilizzato in ogni fase della mappa logistica. Ogni pixel legge entrambi i parametri dagli assi, scarta un valore transitorio e poi calcola la media della derivata logaritmica. Modificando la sequenza di simboli si riorganizzano le isole di stabilità. Si tratta quindi di una parte essenziale della scena, non semplicemente del nome di un preset intercambiabile.
L'esponente come sorgente di colore
L’esponente Lyapunov rappresenta la media del logaritmo dell’ampiezza della derivata lungo l’orbita. I valori negativi indicano contrazione locale e cicli stabili; i valori positivi indicano un comportamento caotico sensibile. I campioni indefiniti o divergenti richiedono una politica di rendering esplicita.
L’esponente Lyapunov λ calcola la media di log|r(1−2x)| lungo l’orbita. I valori negativi indicano contrazione e un comportamento stabile a lungo termine nel regime campionato; i valori positivi indicano una separazione sensibile. In prossimità di λ=0 la stima converge lentamente e le simulazioni brevi creano bande di confine macchiate. Una scala cromatica dovrebbe evidenziare chiaramente lo zero e normalizzare separatamente gli intervalli positivi e negativi, anziché mescolarli in un gradiente ciclico arbitrario.
Le «piume» sono i confini di stabilità
Le ali e le piume riconoscibili tracciano le transizioni tra finestre periodiche e caos. Un gradiente può rendere il risultato spettacolare, ma si limita a mappare un segnale dinamico misurato, senza generare la geometria di per sé.
Le forme simili a piume si formano dove finestre periodiche e regioni caotiche si intrecciano in un piano parametrico bidimensionale. Si tratta di contorni di stabilità correlata, non di texture dipinte. La lunghezza di osservazione deve aumentare con l’ingrandimento, poiché le finestre più sottili possono presentare transitori più lunghi. Un’anteprima immediata potrebbe risultare approssimativa; l’immagine finale deve continuare a perfezionare la stima dell’esponente.
Fonti e approfondimenti
Questo articolo riassume le seguenti fonti specialistiche utilizzando la formulazione originale. Consultato e revisionato dal punto di vista editoriale 12 agosto 2026.
- Lyapunov ExponentWolfram MathWorld
- Simple mathematical models with very complicated dynamicsNature
Sviluppa l’idea
Il diagramma di biforcazione
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