Lyapunov fractales
Un fractal Lyapunov asigna dos valores de parámetro a los ejes, los alterna según una secuencia simbólica y colorea cada par según la sensibilidad media de la órbita.
Un experimento de dos parámetros
La regla logística xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ) suele variar un parámetro r. Una secuencia como AABAB elige entre el parámetro horizontal A y el parámetro vertical B en cada iteración, lo que produce un campo de estabilidad bidimensional.
Una secuencia de símbolos como AABAB determina cuál de los dos parámetros se utiliza en cada paso del mapa logístico. Cada píxel lee ambos parámetros de los ejes, descarta un valor transitorio y, a continuación, calcula la media de la derivada logarítmica. Al cambiar la secuencia de símbolos se reorganizan las islas de estabilidad. Por lo tanto, es una parte esencial de la escena, no simplemente el nombre de un preajuste intercambiable.
El exponente como fuente de color
El exponente Lyapunov representa la media del logaritmo de la magnitud de la derivada a lo largo de la órbita. Los valores negativos indican contracción local y ciclos estables; los valores positivos indican un comportamiento caótico sensible. Las muestras indefinidas o divergentes requieren una política de renderizado explícita.
El exponente λ de Lyapunov calcula la media de log|r(1−2x)| a lo largo de la órbita. Los valores negativos indican contracción y un comportamiento estable a largo plazo en el régimen muestreado; los valores positivos indican una separación sensible. Cerca de λ=0, la estimación converge lentamente, y las series cortas crean bandas límite moteadas. Una escala de colores debería marcar claramente el cero y normalizar los rangos positivos y negativos por separado, en lugar de mezclarlos en un gradiente cíclico arbitrario.
Las «plumas» son límites de estabilidad.
Las reconocibles alas y plumas trazan transiciones entre ventanas periódicas y el caos. Un degradado puede hacer que el resultado sea espectacular, pero lo que hace es representar una señal dinámica medida, no generar la geometría por sí mismo.
Las formas similares a plumas se producen donde las ventanas periódicas y las regiones caóticas se entrelazan en un plano paramétrico bidimensional. Son contornos de estabilidad relacionada, no texturas pintadas. La duración de la observación debe aumentar con el aumento, ya que las ventanas finas pueden presentar transitorios más largos. Una vista previa inmediata puede resultar aproximada; la imagen final debe seguir refinando la estimación del exponente.
Fuentes y lecturas recomendadas
Este artículo resume las siguientes fuentes especializadas utilizando la redacción original. Consultado y revisado editorialmente el 12 de agosto 2026.
- Lyapunov ExponentWolfram MathWorld
- Simple mathematical models with very complicated dynamicsNature
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