Lyapunov fractais
Um fractal Lyapunov atribui dois valores de parâmetros aos eixos, alterna-os de acordo com uma sequência simbólica e colore cada par de acordo com a sensibilidade média da órbita.
Uma experiência com dois parâmetros
A regra logística xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ) varia normalmente um parâmetro r. Uma sequência como AABAB alterna entre o parâmetro horizontal A e o parâmetro vertical B em cada iteração, produzindo um campo de estabilidade bidimensional.
Uma sequência de símbolos, como AABAB, determina qual dos dois parâmetros é utilizado em cada etapa do mapa logístico. Cada pixel lê ambos os parâmetros a partir dos eixos, descarta um valor transitório e, em seguida, calcula a média da derivada logarítmica. A alteração da sequência de símbolos reorganiza as ilhas de estabilidade. Trata-se, portanto, de uma parte essencial da cena, e não apenas de um nome de predefinição intercambiável.
Exponente como fonte de cor
O expoente Lyapunov calcula a média do logaritmo da magnitude da derivada ao longo da órbita. Valores negativos indicam contração local e ciclos estáveis; valores positivos indicam um comportamento caótico sensível. Amostras indefinidas ou divergentes requerem uma política de renderização explícita.
O expoente Lyapunov λ calcula a média de log|r(1−2x)| ao longo da órbita. Valores negativos indicam contração e comportamento estável a longo prazo no regime amostrado; valores positivos indicam separação sensível. Perto de λ=0, a estimativa converge lentamente e simulações curtas criam faixas de fronteira salpicadas. Uma escala de cores deve assinalar claramente o zero e normalizar separadamente os intervalos positivos e negativos, em vez de os misturar num gradiente cíclico arbitrário.
As «feathers» são limites de estabilidade
As asas e penas reconhecíveis traçam transições entre janelas periódicas e o caos. Um gradiente pode tornar o resultado dramático, mas está a mapear um sinal dinâmico medido — não a gerar a geometria por si só.
As formas semelhantes a penas surgem onde janelas periódicas e regiões caóticas se entrelaçam num plano de parâmetros bidimensional. São contornos de estabilidade relacionada, não texturas pintadas. O comprimento de observação deve aumentar com a ampliação, uma vez que as janelas finas podem apresentar transientes mais longos. Uma pré-visualização imediata pode ser aproximada; a imagem final deve continuar a refinar a estimativa do expoente.
Fontes e leituras complementares
Este artigo resume as seguintes fontes especializadas, utilizando a redação original. Acedido e revisto editorialmente em 12 de agosto 2026.
- Lyapunov ExponentWolfram MathWorld
- Simple mathematical models with very complicated dynamicsNature
Dê continuidade à ideia
O diagrama de bifurcação
Analise o diagrama de bifurcação do mapa logístico, desde o ponto estável, passando pela duplicação de período, pelo caos e pelas janelas periódicas.
O caos é determinístico
Por que razão as equações determinísticas podem tornar-se imprevisíveis, em que medida a sensibilidade difere da aleatoriedade e onde é que os fractais entram no espaço de fases.
Coloração fractal para além das faixas de iteração
Um guia sobre iteração suave, potencial, distância, ângulo, armadilhas de órbita, coloração interior e gradientes percetivos.