Lyapunov fractales
Une fractale Lyapunov attribue deux valeurs de paramètres aux axes, les alterne selon une séquence symbolique et colore chaque paire en fonction de la sensibilité moyenne de l’orbite.
Une expérience à deux paramètres
La règle logistique xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ) fait généralement varier un paramètre r. Une séquence telle que AABAB alterne entre le paramètre horizontal A et le paramètre vertical B à chaque itération, produisant ainsi un champ de stabilité bidimensionnel.
Une séquence de symboles telle que AABAB détermine lequel des deux paramètres est utilisé à chaque étape de la carte logistique. Chaque pixel lit les deux paramètres sur les axes, élimine une valeur transitoire, puis calcule la moyenne de la dérivée logarithmique. La modification de la séquence de symboles réorganise les îlots de stabilité. Il s’agit donc d’un élément essentiel de la scène, et non d’un simple nom de préréglage interchangeable.
L'exposant comme source de couleur
L'exposant Lyapunov correspond à la moyenne du logarithme de l'amplitude de la dérivée le long de l'orbite. Les valeurs négatives indiquent une contraction locale et des cycles stables ; les valeurs positives indiquent un comportement chaotique sensible. Les échantillons indéfinis ou divergents nécessitent une politique de rendu explicite.
L’exposant λ de Lyapunov correspond à la moyenne de log|r(1−2x)| le long de l’orbite. Les valeurs négatives indiquent une contraction et un comportement stable à long terme dans le régime échantillonné ; les valeurs positives indiquent une séparation sensible. Près de λ=0, l’estimation converge lentement, et les courtes séries créent des bandes de bordure mouchetées. Une échelle de couleurs doit indiquer clairement le zéro et normaliser séparément les plages positives et négatives, plutôt que de les mélanger dans un dégradé cyclique arbitraire.
Les « plumes » sont des limites de stabilité.
Les ailes et les plumes reconnaissables tracent les transitions entre les fenêtres périodiques et le chaos. Un dégradé peut rendre le résultat spectaculaire, mais il ne fait que cartographier un signal dynamique mesuré — il ne génère pas la géométrie en soi.
Les formes ressemblant à des plumes apparaissent là où des fenêtres périodiques et des régions chaotiques s’imbriquent dans un plan paramétrique bidimensionnel. Il s’agit de contours de stabilité corrélés, et non de textures peintes. La durée d’observation doit être allongée à mesure que le grossissement augmente, car les fenêtres fines peuvent présenter des transitoires plus longs. Un aperçu immédiat peut être grossier ; l’image finale doit continuer à affiner l’estimation de l’exposant.
Sources et lectures complémentaires
Cet article résume les sources spécialisées suivantes en reprenant leur formulation d'origine. Consultées et révisées par la rédaction 12 août 2026.
- Lyapunov ExponentWolfram MathWorld
- Simple mathematical models with very complicated dynamicsNature
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