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Le sette fasi di costruzione dell’insieme di Cantor — Sette iterazioni della costruzione di Cantor: ad ogni passo, il terzo centrale aperto viene rimosso da ogni intervallo rimanente.Immagine: Wikimedia contributors · Wikimedia Commons · Public Domain (simple geometry)

Settima iterazione del triangolo di Sierpiński — Settima iterazione del triangolo di Sierpiński: tre copie ridotte formano la fase successiva, lasciando vuoto lo spazio centrale.Immagine: PiAndWhippedCream · Wikimedia Commons · Public Domain

I primi tre ordini sovrapposti della curva di Hilbert — I primi tre ordini di una curva di Hilbert mostrano come una linea unidimensionale attraversi densamente un quadrato nel processo di limite.Immagine: Geoff Richards (Qef) · Wikimedia Commons · Public Domain

Quinta iterazione del fiocco di neve di Koch — Quinta iterazione del fiocco di neve di Koch: ogni segmento viene ripetutamente sostituito da quattro segmenti lunghi un terzo di esso.Immagine: Wrtlprnft · Wikimedia Commons · Public Domain (simple geometry)

Schema di costruzione di un impacchettamento apolloniano di cerchi — Costruzione di una guarnizione apolloniana: ulteriori cerchi tangenti vengono inseriti in ogni spazio tra tre cerchi reciprocamente tangenti.Immagine: Stevo-88 · Wikimedia Commons · Public Domain

Quinta iterazione di un tappeto di Sierpiński come analogo bidimensionale della spugna di Menger — Analogo bidimensionale della spugna di Menger: il nono centrale viene rimosso in modo ricorsivo da ogni quadrato.Immagine: Solkoll · Wikimedia Commons · Public Domain

Fasi di iterazione contrassegnate da colori di una curva del drago — Curva del drago con ordini separati per colore: la piegatura ripetuta o un sistema L producono la sua caratteristica linea che riempie lo spazio.Immagine: Joehms22 · Wikimedia Commons · Public Domain

Felce di Barnsley generata da un sistema di funzioni iterate — Felce di Barnsley: quattro mappe affini e una selezione casuale ponderata generano un’immagine matematica che ricorda una felce.Immagine: Farry · Wikimedia Commons · CC0 1.0

Diagramma di biforcazione della mappa logistica — Diagramma di biforcazione della mappa logistica: all’aumentare del parametro, uno stato stabile si divide ripetutamente prima che emergano bande caotiche.Immagine: PAR · Wikimedia Commons · Public Domain

Scheda per antenna a matrice di fasi con strutture conduttrici ramificate ripetute — Array di antenne sperimentale con geometrie di conduttori a ramificazione ripetuta. Tali geometrie consentono di inserire più scale di lunghezza effettive in un’area compatta.Immagine: Isenberg · Wikimedia Commons · CC BY 4.0

Zoom profondo del Mandelbrot blu con spirali che si ramificano ripetutamente — Zoom profondo su una regione di Mandelbrot: strutture di confine correlate, ma non identiche, si ripetono su molte scale.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit · Eigene Darstellung · Own work

Insieme di Julia renderizzato a colori con bande di confine sinuose — Insieme di Julia in MandelKit: una regola di iterazione produce un contorno con una struttura che si estende fino al limite di visualizzazione.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit · Eigene Darstellung · Own work

Frattale «Burning Ship» con isole rosse su uno sfondo turchese — Burning Ship in MandelKit: il valore assoluto nell’iterazione rompe la simmetria della classica mappa di Mandelbrot.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit · Eigene Darstellung · Own work

Rilievo frattale dai colori vivaci con fasce cromatiche sovrapposte — Progettazione cromatica in MandelKit: l’immagine interpreta i valori calcolati; non rappresenta l’insieme matematico in sé.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit · Eigene Darstellung · Own work

Rilievo frattale tridimensionale rosa su sfondo nero — Rilievo 3D in MandelKit: altezza, normali e illuminazione traducono i dati frattali scalari in una lettura spaziale.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit · Eigene Darstellung · Own work

Romanesco con cimette di forma simile disposte a spirale — Il romanesco ripete motivi di crescita su diversi livelli di dimensione: un esempio naturale istruttivo, ma non un frattale infinitamente esatto.Immagine: Jon Sullivan · Wikimedia Commons · Public Domain

Primo piano di una felce con foglioline che presentano una ramificazione simile — Le fronde e le foglioline delle felci seguono modelli di ramificazione correlati. La crescita biologica limita l’autosimilarità a scale finite.Immagine: Abbas Karimi · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0

Immagine satellitare del delta ramificato del fiume Colorado — Vista ASTER del delta del Colorado: flusso, sedimenti e terreno formano reti ramificate le cui statistiche dipendono dalla scala di osservazione.Immagine: NASA/METI/AIST/Japan Space Systems/U.S.–Japan ASTER Science Team · NASA / Wikimedia Commons · Public Domain (NASA)

Immagini al microscopio elettronico a scansione di cristalli di neve ramificati — Microscopia elettronica a scansione USDA con pseudo-colorazione: la temperatura e l’umidità determinano la crescita dendritica finita di ciascun cristallo.Immagine: USDA Agricultural Research Service · USDA ARS / Wikimedia Commons · Public Domain (U.S. Government)

Un fulmine dalle numerose ramificazioni contro un cielo notturno scuro — Un canale di fulmini si ramifica durante una scarica elettrica. La sua somiglianza con altre reti non implica che siano all’opera gli stessi processi.Immagine: Brad Caldwell (Caldwbr) · Wikimedia Commons · CC0 1.0

Illustrazione medica di bronchi, alveoli e vasi polmonari — I bronchi e i vasi distribuiscono aria e sangue attraverso una ramificazione gerarchica. I modelli frattali descrivono parti di questa geometria, non l’intera fisiologia.Immagine: Patrick J. Lynch, medical illustrator; C. Carl Jaffe, MD · Yale / Wikimedia Commons · CC BY 2.5

Ritratto del matematico Benoît Mandelbrot all’EPFL in 2007 — Benoît Mandelbrot all’EPFL, 14 marzo 2007. Il suo lavoro ha unito l’analisi delle scale, l’immagine computerizzata e la geometria delle forme irregolari.Immagine: Rama · Wikimedia Commons · CC BY-SA 2.0 FR

Griglia di conteggio dei riquadri su una curva irregolare autosimile — Il conteggio delle celle misura quante celle della griglia vengono toccate da una struttura al variare delle dimensioni delle celle.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Albero matematico a ramificazione ricorsiva con undici livelli — Ogni ramo richiama nuovamente la stessa regola di costruzione con una lunghezza minore e un angolo di rotazione diverso.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Due orbite della mappa logistica inizialmente adiacenti divergono — Due valori iniziali distanti solo un decimillesimo di milione divergono rapidamente nel regime caotico.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Tre approssimazioni di una funzione di Weierstrass sempre più approssimativa — Ogni banda di frequenza aggiunta rende la curva più fine e più irregolare senza comprometterne la continuità.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Insieme di Mandelbrot completo con corpo principale e satelliti chiaramente visibili — I punti neri rimangono confinati al di sotto di z² + c; l’area circostante è colorata in base al tempo di fuga smussato.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

In parallelo: insieme cubico di Multibrot e Multicorn — Il pannello di sinistra ripete la formula z³ + c, quello di destra la sua variante coniugata; la piccola modifica alla regola produce una simmetria diversa.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Frattale di Newton con tre bacini di attrazione separati per colore — Il colore indica quale radice raggiunge il metodo di Newton; i confini del frattale reagiscono in modo sensibile al valore iniziale.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Bacini intrecciati di un metodo di Newton con cinque radici — Cinque attrattori dividono il piano in regioni i cui confini comuni rimangono intrecciati a scale sempre più piccole.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Lyapunov frattale di una mappa logistica che alterna periodicamente — Le regioni chiare indicano sequenze di parametri stabili; quelle scure e blu indicano esponenti Lyapunov positivi e caos.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Attrattore di Lorenz integrato numericamente con due lobi a forma di farfalla — Una singola traiettoria non entra mai in un ciclo, pur rimanendo permanentemente confinata nella caratteristica struttura di Lorenz.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Simulazione di un aggregato a ramificazione dendritica con diffusione limitata — Le particelle che si muovono in modo casuale si attaccano al primo contatto con l’aggregato, producendo rami schermati simili ad alberi.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Campo di nuvole procedurale assemblato a partire da scale di rumore stratificate — Diversi campi di rumore smussati di diverse dimensioni si combinano in una struttura nuvolosa statisticamente multiscala.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Terreno montuoso procedurale ombreggiato ottenuto dalla suddivisione ricorsiva del campo di altezza — La suddivisione ricorsiva e gli offset casuali decrescenti producono un terreno dalle forme ampie e con una rugosità progressivamente più fine.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Cascata multifrattale con massa distribuita in modo non uniforme su molte scale — Una cascata moltiplicativa ridistribuisce il peso in modo non uniforme ad ogni passo, producendo diversi esponenti di ridimensionamento locali.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Segnale temporale sintetico multiscala con una linea di base lenta — Un segnale di tipo 1/f generato spettralmente illustra le fluttuazioni a lungo raggio studiate nelle serie temporali fisiologiche.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Immagine frattale con griglia a blocchi e tre sottoregioni trasformate — Lo schema illustra il principio di descrizione delle regioni dell’immagine tramite copie affini di altre regioni.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Rendering isometrico di una spugna di Menger di terzo ordine — In ogni fase vengono rimossi i subcubi centrali, lasciando un solido perforato con una superficie in continua espansione.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Stima della distanza intorno all’insieme di Mandelbrot con contorni di distanza dettagliati — La derivata di iterazione fornisce una stima della distanza dall’insieme; le curve di livello rendono visibile questo valore scalare.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Rendering di Mandelbrot con una griglia di tessere visibile per un’esportazione di grandi dimensioni — Le immagini di grandi dimensioni vengono suddivise in tessere gestibili e poi assemblate senza giunture visibili.Immagine: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work