칸토르 집합

칸토르 집합은 한 선분에서 시작하여, 남은 각 선분에서 가운데 열린 3분의 1 부분을 반복적으로 제거합니다. 최종적으로 남은 부분은 드문드문해 보이지만, 그 수학적 구조는 놀라울 정도로 풍부합니다.

칸토르 구성의 7단계 반복: 각 단계에서, 남아 있는 모든 구간에서 열린 가운데 3분의 1이 제거됩니다.이미지: Wikimedia contributors · Wikimedia Commons · Public Domain (simple geometry)

제거를 통한 구성

한 단계가 지나면 닫힌 3분의 2가 남고, 두 단계가 지나면 9분의 4가 남으며, n단계가 지나면 길이 3⁻ⁿ인 2ⁿ개의 세그먼트가 남습니다. 칸토어 집합은 모든 단계의 교집합으로, 절대 제거되지 않는 점들을 포함합니다.

첫 번째 단계가 끝나면 길이가 1/3인 구간이 두 개 남고, 두 번째 단계가 끝나면 길이가 1/9인 구간이 네 개 남으며, n번째 단계가 끝나면 길이가 3⁻ⁿ인 구간이 2ⁿ개 남습니다. 이 규칙은 어떤 디스플레이도 극한 집합을 그릴 수 없더라도 완전합니다. 한 점이 제거된 중간 3분의 1 구간에 절대 속하지 않을 때만 그 점에 속한다고 볼 수 있다. 이러한 관점은 이 구성을 단순히 선의 두께를 점점 얇게 만드는 과정이라기보다는 정확한 선택 절차로 전환시킨다.

길이 0, 셀 수 없이 많은 점

제거된 길이의 합은 1이므로, 남은 집합의 총 길이는 0입니다. 그럼에도 불구하고 이 집합은 비가산 집합입니다. 이러한 대조는 점이 많은 집합이 그에 상응하는 큰 길이를 차지해야 한다는 직관을 무너뜨리는 데 기여했습니다.

n단계가 지난 후 남은 총 길이는 (2/3)ⁿ이며, 이는 0으로 수렴합니다. 그럼에도 불구하고, 극한 집합은 셀 수 없이 많은 점을 포함합니다. 즉, 왼쪽과 오른쪽 선택으로 이루어진 모든 무한 수열이 하나의 점을 선택하기 때문입니다. 따라서 길이가 0이라고 해서 “점들이 거의 없다”는 뜻은 아니며, 르베그 측도에서 1차원적 확장이 없다는 것을 의미합니다. 기수(cardinality)와 측도(measure)의 구분은 이 집합이 역사적으로 교훈적인 사례가 된 이유 중 하나입니다.

숫자는 자기상사성을 드러냅니다

3진법에서 칸토르 집합의 점들은 이중 전개에 대한 일반적인 주의 사항을 준수하면서 0 및 2이라는 숫자만으로 표현될 수 있습니다. 매 단계마다 두 가지 반 크기의 논리적 선택이 발생하며, 이로 인해 유사 차원은 log 2 / log 3이 됩니다.

3진법 표기법에서 선택된 숫자들은 1이라는 자릿수 없이 표기할 수 있는 숫자들입니다. 0은 왼쪽 분기를, 2는 오른쪽 분기를 선택합니다. 기하학은 기호적 순열이 됩니다. 처음 n자리 숫자는 n단계에서의 구간을 결정하고, 나머지 숫자들은 그 구간 내의 위치를 세분화합니다. 자기상동성은 그림 속에서뿐만 아니라, 무한 수열에 작용하는 평행 이동의 형태로도 나타납니다.