Die Cantor-Menge
Die Cantor-Menge beginnt mit einer Strecke und entfernt wiederholt aus jedem verbleibenden Abschnitt das offene mittlere Drittel. Was übrig bleibt, wirkt spärlich und ist dennoch mathematisch reich.
Eine Konstruktion durch Entfernen
Nach einem Schritt bleiben zwei geschlossene Drittel, nach zwei Schritten vier Neuntel; nach n Schritten sind es 2ⁿ Abschnitte der Länge 3⁻ⁿ. Die Cantor-Menge ist der Schnitt aller Stufen und enthält genau die nie entfernten Punkte.
Nach dem ersten Schritt bleiben zwei Drittelintervalle, nach dem zweiten vier Intervalle der Länge ein Neuntel und nach dem n-ten Schritt 2ⁿ Intervalle der Länge 3⁻ⁿ. Die Regel ist damit vollständig, obwohl kein Bildschirm den Grenzfall zeichnen kann. Ein Punkt gehört genau dann zur Cantor-Menge, wenn er in keiner Stufe in ein entferntes mittleres Drittel fällt. Diese Sicht macht die Konstruktion zu einem präzisen Auswahlverfahren statt zu einer Folge immer dünnerer Striche.
Länge null, überabzählbar viele Punkte
Die entfernten Längen summieren sich zu eins, daher besitzt der Rest Gesamtlänge null. Trotzdem ist er überabzählbar. Der Gegensatz löste die Anschauung auf, eine punktreiche Menge müsse entsprechend viel Länge belegen.
Die Gesamtlänge der verbleibenden Intervalle ist nach n Schritten (2/3)ⁿ und strebt gegen null. Trotzdem enthält die Grenzmenge überabzählbar viele Punkte: Jede unendliche Folge aus links und rechts wählt genau einen Punkt. Null Länge bedeutet also nicht „fast keine Punkte“, sondern keine eindimensionale Ausdehnung im Lebesgue-Maß. Dieses Auseinanderfallen von Mächtigkeit und Maß ist einer der Gründe, warum die Menge historisch so lehrreich wurde.
Ziffern zeigen die Selbstähnlichkeit
Im Dreiersystem lassen sich Punkte der Cantor-Menge – mit der üblichen Vorsicht bei doppelten Darstellungen – allein durch die Ziffern 0 und 2 beschreiben. In jeder Stufe entstehen zwei verkleinerte Wahlmöglichkeiten; die Ähnlichkeitsdimension ist log 2 / log 3.
In der ternären Darstellung werden genau die Zahlen ausgewählt, die ohne die Ziffer 1 geschrieben werden können; 0 steht für den linken, 2 für den rechten Ast. Dadurch übersetzt sich die Geometrie in eine Symbolfolge. Die ersten n Ziffern bestimmen ein Intervall der n-ten Stufe, die restlichen Ziffern verfeinern den Ort darin. Selbstähnlichkeit erscheint hier nicht nur im Bild, sondern als Verschiebung auf unendlichen Folgen.
Quellen und Vertiefung
Die Darstellung fasst die folgenden Fachquellen in eigenen Worten zusammen. Abruf und redaktionelle Prüfung: 12. August 2026.
- Cantor SetWolfram MathWorld
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ApplicationsWiley
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