El conjunto de Cantor
El conjunto de Cantor comienza con un segmento de recta y elimina repetidamente el tercio central abierto de cada segmento restante. Lo que queda parece escaso, pero su matemática es extraordinariamente rica.
Una construcción por eliminación
Tras un paso, quedan dos tercios cerrados; tras dos, cuatro novenos; tras n pasos, quedan 2ⁿ segmentos de longitud 3⁻ⁿ. El conjunto de Cantor es la intersección de todas las etapas y contiene puntos que nunca se eliminan.
Tras el primer paso quedan dos intervalos de longitud un tercio; tras el segundo, hay cuatro de longitud un noveno, y tras el paso n hay 2ⁿ intervalos de longitud 3⁻ⁿ. La regla es completa aunque ninguna pantalla pueda representar el conjunto límite. Un punto pertenece al conjunto precisamente cuando nunca recae en un tercio medio eliminado. Esta perspectiva convierte la construcción en un procedimiento de selección exacto, en lugar de una mera secuencia de líneas cada vez más finas.
Longitud cero, un número incontable de puntos
La suma de las longitudes eliminadas es igual a uno, por lo que el conjunto restante tiene una longitud total de cero. Sin embargo, es incontable. Este contraste ayudó a desmontar la intuición de que un conjunto con muchos puntos debe ocupar una longitud proporcionalmente grande.
La longitud total restante tras n etapas es (2/3)ⁿ y tiende a cero. No obstante, el conjunto límite contiene un número incontable de puntos: cada secuencia infinita de elecciones a la izquierda y a la derecha selecciona un punto. Por lo tanto, una longitud cero no significa «casi ningún punto», sino que no tiene extensión unidimensional en la medida de Lebesgue. La distinción entre cardinalidad y medida es una de las razones por las que este conjunto ha resultado históricamente instructivo.
Los dígitos revelan la autosimilaridad
En base tres, los puntos del conjunto de Cantor pueden representarse utilizando únicamente los dígitos 0 y 2, prestando la atención habitual a las expansiones duales. En cada paso se producen dos opciones lógicas de tamaño reducido, lo que da una dimensión de similitud log 2 / log 3.
En notación ternaria, los números seleccionados son exactamente aquellos que pueden escribirse sin el dígito 1: 0 elige la rama izquierda y 2 la derecha. La geometría se convierte en una secuencia simbólica. Los primeros n dígitos determinan un intervalo en la etapa n, mientras que los dígitos restantes refinan la ubicación dentro de él. La autosimilaridad aparece no solo en la imagen, sino como un desplazamiento que actúa sobre secuencias infinitas.
Fuentes y lecturas recomendadas
Este artículo resume las siguientes fuentes especializadas utilizando la redacción original. Consultado y revisado editorialmente el 12 de agosto 2026.
- Cantor SetWolfram MathWorld
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ApplicationsWiley
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