Cantorova množina
Cantorova množina začíná úsečkou a z každého zbývajícího úseku opakovaně odstraňuje otevřenou střední třetinu. Výsledek vypadá řídce, avšak jeho matematika je pozoruhodně bohatá.
Konstrukce odstraňováním
Po jednom kroku zbývají dvě uzavřené třetiny; po dvou krocích čtyři devítiny; po n krocích zbývá 2ⁿ segmentů o délce 3⁻ⁿ. Cantorova množina je průnikem všech fází a obsahuje body, které nejsou nikdy odstraněny.
Po prvním kroku zbývají dva intervaly o délce jedné třetiny; po druhém kroku jsou čtyři intervaly o délce jedné devítiny a po kroku n je 2ⁿ intervalů o délce 3⁻ⁿ. Pravidlo je úplné, i když žádný displej nedokáže vykreslit limitní množinu. Bod patří do množiny přesně tehdy, když nikdy nespadá do odstraněné střední třetiny. Tento pohled mění konstrukci na přesný výběrový postup, nikoli pouze na posloupnost tenčích čar.
Nulová délka, nespočetné množství bodů
Součet odstraněných délek je roven jedné, takže zbývající množina má celkovou délku nula. Přesto je nepočitatelná. Tento kontrast pomohl vyvrátit intuici, že množina s mnoha body musí zabírat odpovídající velkou délku.
Celková délka zbývající po n krocích je (2/3)ⁿ a směřuje k nule. Nicméně limitní množina obsahuje nepočitatelně mnoho bodů: každá nekonečná posloupnost volby vlevo a vpravo vybírá jeden bod. Nulová délka tedy neznamená „téměř žádné body“; znamená to, že v Lebesgueově míře neexistuje žádný jednorozměrný rozsah. Rozdíl mezi kardinalitou a mírou je jedním z důvodů, proč se tato množina stala historicky poučnou.
Číslice odhalují samopodobnost
V trojkové soustavě lze body Cantorovy množiny vyjádřit pouze číslicemi 0 a 2, přičemž je třeba věnovat obvyklou pozornost duálním rozvojem. V každém kroku dochází ke dvěma logickým volbám poloviční velikosti, což dává dimenzi podobnosti log 2 / log 3.
V ternární notaci jsou vybraná čísla přesně ta, která lze zapsat bez číslice 1: 0 volí levou větev a 2 pravou. Geometrie se stává symbolickou posloupností. Prvních n číslic určuje interval ve fázi n, zatímco zbývající číslice upřesňují polohu uvnitř něj. Sebepodobnost se projevuje nejen na obrázku, ale také jako posun působící na nekonečné posloupnosti.
Zdroje a další literatura
Tento článek shrnuje následující odborné zdroje v původním znění. Přístup a redakční revize 12 srpen 2026.
- Cantor SetWolfram MathWorld
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ApplicationsWiley
Pokračujte v této myšlence
Fraktální dimenze
Co měří fraktální dimenze, jak funguje počítání krabic a proč může mít jeden objekt více než jednu smysluplnou dimenzi.
Sierpińskiho trojúhelník a koberec
Jak opakované odstraňování vytváří přesnou sebepodobnost, mizející plochu a most od Cantorovy množiny k vyšším dimenzím.
Když se křivky staly „patologickými“
Proč spojité křivky, které nejsou nikde hladké a vyplňují prostor, narušily klasickou intuici – a později se staly klíčovými příklady.