L'ensemble de Cantor
L'ensemble de Cantor commence par un segment de droite et supprime de manière répétée le tiers central ouvert de chaque segment restant. Le résultat semble clairsemé, mais ses propriétés mathématiques sont remarquablement riches.
Une construction par soustraction
Après une étape, il reste deux tiers fermés ; après deux, quatre neuvièmes ; après n étapes, il reste 2ⁿ segments de longueur 3⁻ⁿ. L'ensemble de Cantor est l'intersection de toutes les étapes, contenant les points qui ne sont jamais supprimés.
Après la première étape, il reste deux intervalles de longueur un tiers ; après la deuxième, il y en a quatre de longueur un neuvième, et après l’étape n, il y a 2ⁿ intervalles de longueur 3⁻ⁿ. La règle est complète même si aucun affichage ne peut tracer l’ensemble limite. Un point appartient à l’ensemble précisément lorsqu’il ne se trouve jamais dans un tiers central supprimé. Cette perspective transforme la construction en une procédure de sélection exacte plutôt qu’en une simple séquence de lignes de plus en plus fines.
Longueur nulle, nombre innombrable de points
La somme des longueurs supprimées est égale à un, de sorte que l’ensemble restant a une longueur totale nulle. Il n’en reste pas moins non dénombrable. Ce contraste a contribué à démanteler l’intuition selon laquelle un ensemble comportant de nombreux points doit nécessairement occuper une longueur proportionnellement importante.
La longueur totale restante après n étapes est égale à (2/3)ⁿ et tend vers zéro. Néanmoins, l’ensemble limite contient un nombre innombrable de points : chaque suite infinie de choix à gauche et à droite sélectionne un point. Une longueur nulle ne signifie donc pas « presque aucun point » ; cela signifie l’absence d’étendue unidimensionnelle selon la mesure de Lebesgue. La distinction entre cardinalité et mesure est l’une des raisons pour lesquelles cet ensemble est devenu historiquement instructif.
Les chiffres révèlent l’auto-similarité
En base trois, les points de l'ensemble de Cantor peuvent être représentés en utilisant uniquement les chiffres 0 et 2, en veillant comme d'habitude aux développements d'ordre double. À chaque étape, deux choix logiques de taille égale à la moitié s'offrent, ce qui donne une dimension de similitude log 2 / log 3.
En notation ternaire, les nombres sélectionnés sont précisément ceux qui peuvent s’écrire sans le chiffre 1 : 0 choisit la branche gauche et 2 la branche droite. La géométrie devient une séquence symbolique. Les n premiers chiffres déterminent un intervalle à l’étape n, tandis que les chiffres restants affinent l’emplacement à l’intérieur de celui-ci. L’auto-similarité apparaît non seulement dans l’image, mais aussi sous la forme d’un décalage agissant sur des séquences infinies.
Sources et lectures complémentaires
Cet article résume les sources spécialisées suivantes en reprenant leur formulation d'origine. Consultées et révisées par la rédaction 12 août 2026.
- Cantor SetWolfram MathWorld
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ApplicationsWiley
Poursuivez l'idée
Dimension fractale
Ce que mesure la dimension fractale, comment fonctionne le comptage par boîtes et pourquoi un objet peut avoir plusieurs dimensions significatives.
Triangle et tapis de Sierpiński
Comment la suppression répétée crée une autosimilarité exacte, une aire nulle et un pont entre l'ensemble de Cantor et des dimensions supérieures.
Quand les courbes sont devenues « pathologiques »
Pourquoi les courbes continues, ni lisses ni « nowhere-smooth », et celles remplissant l’espace ont bouleversé l’intuition classique — avant de devenir par la suite des exemples phares.