O conjunto de Cantor
O conjunto de Cantor começa com um segmento de reta e remove repetidamente o terço central aberto de cada segmento restante. O que resta parece esparso, mas a sua matemática é notavelmente rica.
Uma construção por subtração
Após um passo, restam dois terços fechados; após dois, quatro nonos; após n passos, restam 2ⁿ segmentos de comprimento 3⁻ⁿ. O conjunto de Cantor é a interseção de todas as etapas, contendo pontos que nunca são removidos.
Após o primeiro passo, permanecem dois intervalos com comprimento de um terço; após o segundo, existem quatro com comprimento de um nono e, após o passo n, existem 2ⁿ intervalos com comprimento 3⁻ⁿ. A regra está completa, embora nenhum ecrã consiga representar o conjunto limite. Um ponto pertence ao conjunto precisamente quando nunca se situa num terço médio removido. Esta perspetiva transforma a construção num procedimento de seleção exato, em vez de ser meramente uma sequência de linhas cada vez mais finas.
Comprimento zero, um número incontável de pontos
A soma dos comprimentos removidos é igual a um, pelo que o conjunto restante tem comprimento total zero. No entanto, é incontável. Este contraste ajudou a desmontar a intuição de que um conjunto com muitos pontos deve ocupar um comprimento correspondentemente grande.
O comprimento total remanescente após n etapas é (2/3)ⁿ e tende para zero. No entanto, o conjunto limite contém um número incontável de pontos: cada sequência infinita de escolhas à esquerda e à direita seleciona um ponto. O comprimento zero, portanto, não significa «quase nenhum ponto»; significa a ausência de extensão unidimensional na medida de Lebesgue. A separação entre cardinalidade e medida é uma das razões pelas quais o conjunto se tornou historicamente instrutivo.
Os dígitos revelam a auto-similaridade
Na base três, os pontos do conjunto de Cantor podem ser representados utilizando apenas os dígitos 0 e 2, com o cuidado habitual em relação às expansões duais. Em cada passo, ocorrem duas opções lógicas de metade do tamanho, resultando numa dimensão de semelhança log 2 / log 3.
Na notação ternária, os números selecionados são exatamente aqueles que podem ser escritos sem o dígito 1: 0 escolhe o ramo esquerdo e 2 o direito. A geometria torna-se uma sequência simbólica. Os primeiros n dígitos determinam um intervalo na fase n, enquanto os dígitos restantes refinam a localização dentro desse intervalo. A auto-similaridade surge não só na imagem, mas também como um deslocamento que atua sobre sequências infinitas.
Fontes e leituras complementares
Este artigo resume as seguintes fontes especializadas, utilizando a redação original. Acedido e revisto editorialmente em 12 de agosto 2026.
- Cantor SetWolfram MathWorld
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ApplicationsWiley
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