カントール集合

カントール集合は、ある線分から始まり、残りの各線分から中央の3分の1の開区間を繰り返し除去していくものです。最終的に残る部分はまばらに見えますが、その数学的な内容は驚くほど豊かです。

カントール構成の7回の反復：各ステップで、残りのすべての区間から、中央の3分の1の開区間が削除されます。画像: Wikimedia contributors · Wikimedia Commons · Public Domain (simple geometry)

除去による構成

1ステップ後、2つの閉じた3分の1が残り、2ステップ後には4つの9分の1が残り、nステップ後には長さ 3⁻ⁿ の 2ⁿ 個の区間が残ります。カントール集合は、すべての段階の交わりであり、決して除去されない点を含んでいます。

最初のステップの後には、長さが 1/3 の区間が 2 つ残ります。2 番目のステップの後には、長さが 1/9 の区間が 4 つあり、n 番目のステップの後には、長さが 3⁻ⁿ の区間が 2ⁿ 個あります。このルールは、極限集合を描画できるディスプレイが存在しないにもかかわらず、完全です。ある点が属するのは、その点が除去された中央の3分の1の区間に決して含まれない場合に限られる。この見方により、この構成は単なる線の細くなる一連の過程ではなく、厳密な選択手順となる。

長さゼロ、可算無限の点

削除された長さの合計は1となるため、残りの集合の全長はゼロとなります。それにもかかわらず、この集合は不可算集合です。この対比により、「点の数が多い集合は、それに見合った大きな長さを占めるに違いない」という直観が覆されました。

n段階を経た後の残りの全長は (2/3)ⁿ であり、ゼロに収束します。それにもかかわらず、極限集合には可算不能な数の点が含まれています。つまり、左右の選択からなるあらゆる無限列が、1つの点を選択するからです。したがって、長さがゼロであるということは、「点がほとんどない」という意味ではなく、ルベーグ測度において一次元的な広がりがないことを意味します。基数と測度の区別こそが、この集合が歴史的に示唆に富むものとなった理由の一つです。

数字が自己相似性を明らかにする

3進法では、カンター集合の点は、通常の二重展開への配慮を前提として、数字 0 および 2 のみを用いて表すことができます。各ステップで2つの半分の大きさの論理的選択肢が生じ、これにより相似次元 log 2 / log 3 が得られます。

3進表記において、選択された数字は、数字1を含まずに記述できるものに限られます。0は左の分岐を、2は右の分岐を選択します。幾何学は記号的な数列となります。最初のn桁が段階nにおける区間を決定し、残りの桁がその区間内の位置を精緻化します。自己相似性は、図像の中だけでなく、無限の列に作用するシフトとしても現れる。