一种通过去除进行的构造
经过一步后，剩余两个闭合的三分之一；经过两步后，剩余四个九分之一；经过 n 步后，剩余 2ⁿ 个长度为 3⁻ⁿ 的线段。康托尔集是所有阶段的交集，其中包含永远不会被移除的点。
在第一步之后，剩下两个长度为三分之一的时间间隔；在第二步之后，有四个长度为九分之一的时间间隔；而在第 n 步之后，有 2ⁿ 个长度为 3⁻ⁿ 的时间间隔。尽管没有任何显示设备能够绘制出极限集，但该规则是完整的。 一个点恰好属于该集合，当且仅当它从未落入被移除的中间三分之一区间内。这种观点将该构造转化为一种精确的选择过程，而不仅仅是一系列线条逐渐变细的过程。
长度为零，点数不可数
被移除的长度之和为一，因此剩余集合的总长度为零。尽管如此，它仍是不可数集。这种对比有助于打破“点数多的集合必然占据相应大长度”这一直觉。
经过 n 个阶段后剩余的总长度为 (2/3)ⁿ，且趋于零。尽管如此，极限集仍包含不可数多的点：每一个由左右选择组成的无限序列都会选中一个点。 因此，零长度并不意味着“几乎没有点”；它意味着在勒贝格测度下不存在一维延伸。基数与测度之间的区别，正是该集合在历史上具有启示意义的原因之一。
数字揭示了自相似性
在三进制下，仅使用数字 0 和 2 即可表示康托尔集的点，同时需像往常一样注意双重展开。每一步都会出现两个等分的选择，从而产生相似维数 log 2 / log 3。
在三进制表示法中，所选数字正是那些无需使用数字 1 即可书写的数字：0 选择左分支，2 选择右分支。几何图形由此转化为符号序列。前 n 位数字确定第 n 阶段的区间，其余数字则用于细化该区间内的具体位置。 自相似性不仅体现在图像中，还表现为作用于无限序列上的平移。
来源与延伸阅读
本文以原文措辞总结了以下专业资料来源。访问并经编辑审核于 12 年 2026 月。
- Cantor SetWolfram MathWorld
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ApplicationsWiley
