L'insieme di Cantor
L’insieme di Cantor parte da un segmento di retta e rimuove ripetutamente il terzo centrale aperto da ogni segmento rimanente. Ciò che rimane appare sparso, eppure la sua matematica è straordinariamente ricca.
Una costruzione per sottrazione
Dopo un passo, rimangono due terzi chiusi; dopo due, quattro noni; dopo n passi, rimangono 2ⁿ segmenti di lunghezza 3⁻ⁿ. L’insieme di Cantor è l’intersezione di tutte le fasi e contiene punti che non vengono mai rimossi.
Dopo il primo passo rimangono due intervalli di lunghezza pari a un terzo; dopo il secondo ce ne sono quattro di lunghezza pari a un nono, e dopo il passo n ci sono 2ⁿ intervalli di lunghezza 3⁻ⁿ. La regola è completa anche se nessun display è in grado di disegnare l’insieme limite. Un punto appartiene all’insieme esattamente quando non ricade mai in un terzo centrale rimosso. Questa visione trasforma la costruzione in una procedura di selezione esatta piuttosto che in una semplice sequenza di linee sempre più sottili.
Lunghezza zero, un numero incalcolabile di punti
La somma delle lunghezze rimosse è pari a uno, quindi l’insieme rimanente ha lunghezza totale pari a zero. Ciononostante è non numerabile. Questo contrasto ha contribuito a smantellare l’intuizione secondo cui un insieme con molti punti debba occupare una lunghezza proporzionalmente grande.
La lunghezza totale rimanente dopo n fasi è (2/3)ⁿ e tende a zero. Tuttavia, l’insieme limite contiene un numero innumerevole di punti: ogni sequenza infinita di scelte a sinistra e a destra seleziona un punto. La lunghezza zero, quindi, non significa «quasi nessun punto»; significa l’assenza di estensione unidimensionale nella misura di Lebesgue. La distinzione tra cardinalità e misura è uno dei motivi per cui l’insieme è diventato storicamente istruttivo.
Le cifre rivelano l’autosimilarità
In base tre, i punti dell’insieme di Cantor possono essere rappresentati utilizzando solo le cifre 0 e 2, prestando la consueta attenzione alle espansioni duali. Ad ogni passo si presentano due scelte logiche di dimensione dimezzata, che danno una dimensione di similarità pari a log 2 / log 3.
Nella notazione ternaria, i numeri selezionati sono esattamente quelli che possono essere scritti senza la cifra 1: 0 sceglie il ramo sinistro e 2 quello destro. La geometria diventa una sequenza simbolica. Le prime n cifre determinano un intervallo allo stadio n, mentre le cifre rimanenti ne precisano la posizione al suo interno. L’autosimilarità appare non solo nell’immagine, ma anche come uno spostamento che agisce su sequenze infinite.
Fonti e approfondimenti
Questo articolo riassume le seguenti fonti specialistiche utilizzando la formulazione originale. Consultato e revisionato dal punto di vista editoriale 12 agosto 2026.
- Cantor SetWolfram MathWorld
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ApplicationsWiley
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