Triangolo e tappeto di Sierpiński
Le costruzioni di Sierpiński mantengono ripetutamente le sottoforme selezionate ed eliminano il resto. Le loro semplici griglie rendono il ridimensionamento, la dimensione e la connettività straordinariamente visibili.
Triangolo per sottrazione o gioco del caos
Dividi un triangolo in quattro triangoli congruenti e rimuovi quello centrale, quindi ripeti l’operazione sui tre rimanenti. Lo stesso limite emerge nel gioco del caos: spostati ripetutamente a metà strada dal punto corrente verso un vertice scelto a caso.
Il triangolo conserva tre copie a metà scala in ogni fase, fornendo una dimensione di similarità pari a log 3/log 2. Il gioco del caos raggiunge lo stesso insieme seguendo un percorso sorprendentemente diverso: scegli un vertice a caso e spostati a metà strada dal punto corrente verso di esso. Dopo una fase transitoria, i punti si trovano quasi interamente sul triangolo di Sierpiński nonostante le scelte casuali. Le contrazioni determinano la geometria; la casualità si limita a distribuire i campioni.
Tappeto e dimensione
Il tappeto divide un quadrato in nove parti ed elimina il centro, conservando otto copie in scala 1:3. La sua dimensione di similarità è log 8 / log 3, mentre la sua area tende a zero.
Il tappeto mantiene otto dei nove quadrati in scala 1:3, quindi la sua dimensione di similarità è log 8/log 3. La sua area viene moltiplicata per 8/9 in ogni fase e tende a zero al limite. Tuttavia, l’insieme rimane connesso e contiene percorsi che attraversano molte scale. Le due grandezze descrivono aspetti diversi della costruzione: l’area misura la proporzione occupata, mentre la dimensione misura la crescita della copertura dei dettagli.
La struttura rimane intatta nonostante l’area mancante
Il triangolo rimane connesso attraverso i punti; il tappeto contiene percorsi attorno ai fori a ogni scala di costruzione. Questi esempi dimostrano che l’area, la connettività e la complessità dimensionale descrivono diversi aspetti di un insieme.
Il foro centrale non è un difetto isolato; si ripete all’interno di ogni copia rimanente. Il suo motivo sopravvive anche quando l’area totale tende a zero. In un’immagine finita, l’effetto dipende fortemente dalla profondità di costruzione: un numero troppo esiguo di iterazioni mostra solo spazi vuoti grossolani, mentre un numero eccessivo crea moiré e linee inghiottite. Un rendering ben riuscito fa corrispondere la profondità di costruzione alla griglia di pixel.
Fonti e approfondimenti
Questo articolo riassume le seguenti fonti specialistiche utilizzando la formulazione originale. Consultato e revisionato dal punto di vista editoriale 12 agosto 2026.
- Sierpiński SieveWolfram MathWorld
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ApplicationsWiley
Sviluppa l’idea
L'insieme di Cantor
Elimina per sempre i terzi centrali e scopri un insieme innumerevole di lunghezza zero, autosimilarità e dimensione log 2/log 3.
La spugna di Menger
Esplora la versione tridimensionale del tappeto di Sierpiński, con volume limite pari a zero e complessità superficiale illimitata.
Dimensione frattale
Cosa misura la dimensione frattale, come funziona il conteggio delle scatole e perché un oggetto può avere più di una dimensione significativa.