Triángulo y alfombra de Sierpiński
Las construcciones de Sierpiński conservan repetidamente las subformas seleccionadas y eliminan el resto. Sus sencillas cuadrículas hacen que el escalado, la dimensión y la conectividad resulten inusualmente visibles.
Triángulo por sustracción o juego del caos
Divide un triángulo en cuatro triángulos congruentes y elimina el centro; a continuación, repite la operación con los tres restantes. El mismo límite aparece en el juego del caos: desplázate repetidamente la mitad de la distancia desde el punto actual hacia un vértice elegido al azar.
El triángulo conserva tres copias a media escala en cada etapa, lo que da una dimensión de similitud log 3/log 2. El juego del caos alcanza el mismo conjunto por una ruta sorprendentemente diferente: elige un vértice al azar y desplázate hasta la mitad de la distancia desde el punto actual hacia él. Tras un periodo transitorio, los puntos se sitúan casi en su totalidad sobre el triángulo de Sierpiński a pesar de las elecciones aleatorias. Las contracciones determinan la geometría; la aleatoriedad solo distribuye las muestras.
Alfombra y dimensión
La alfombra divide un cuadrado en nueve partes y elimina el centro, conservando ocho copias a una escala de un tercio. Su dimensión de similitud es log 8 / log 3, mientras que su área tiende a cero.
La alfombra mantiene ocho de los nueve cuadrados a una escala de un tercio, por lo que su dimensión de similitud es log 8/log 3. Su área se multiplica por 8/9 en cada etapa y tende a cero en el límite. Sin embargo, el conjunto sigue estando conectado y contiene caminos que atraviesan muchas escalas. Las dos magnitudes describen aspectos diferentes de la construcción: el área mide la proporción ocupada, mientras que la dimensión mide el aumento de la cobertura de los detalles.
La estructura se mantiene a pesar del área que falta
El triángulo permanece conectado a través de puntos; la alfombra contiene trayectorias alrededor de los agujeros a todas las escalas de construcción. Estos ejemplos muestran que el área, la conectividad y la complejidad dimensional describen diferentes aspectos de un conjunto.
El agujero central no es un defecto aislado; se repite en el interior de cada una de las copias restantes. Su patrón se mantiene incluso cuando el área total tiende a cero. En una imagen finita, el efecto depende en gran medida de la profundidad de la etapa: un número demasiado reducido de iteraciones solo muestra huecos toscos, mientras que un número excesivo crea efecto moiré y líneas que se pierden. Un renderizado satisfactorio adapta la profundidad de la construcción a la cuadrícula de píxeles.
Fuentes y lecturas recomendadas
Este artículo resume las siguientes fuentes especializadas utilizando la redacción original. Consultado y revisado editorialmente el 12 de agosto 2026.
- Sierpiński SieveWolfram MathWorld
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ApplicationsWiley
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