Triangle et tapis de Sierpiński
Les constructions de Sierpiński conservent de manière répétée les sous-formes sélectionnées et éliminent le reste. Leurs grilles simples rendent la mise à l'échelle, la dimension et la connectivité particulièrement visibles.
Triangle par soustraction ou jeu du chaos
Divisez un triangle en quatre triangles congruents et retirez celui du centre, puis répétez l'opération sur les trois restants. La même limite apparaît dans le jeu du chaos : déplacez-vous de manière répétée à mi-chemin entre le point actuel et un sommet choisi au hasard.
Le triangle conserve trois copies à demi-échelle à chaque étape, ce qui donne une dimension de similitude log 3/log 2. Le jeu du chaos aboutit au même ensemble par un chemin étonnamment différent : choisissez un sommet au hasard et déplacez-vous à mi-chemin entre le point actuel et ce sommet. Après une phase transitoire, les points se trouvent presque entièrement sur le triangle de Sierpiński malgré les choix aléatoires. Ce sont les contractions qui déterminent la géométrie ; le hasard ne fait que répartir les échantillons.
Tapis et dimension
Le tapis divise un carré en neuf parties et supprime le centre, ne conservant que huit copies à l'échelle d'un tiers. Sa dimension de similarité est log 8 / log 3, tandis que son aire tend vers zéro.
Le tapis conserve huit des neuf carrés à l'échelle d'un tiers ; sa dimension de similarité est donc log 8/log 3. Sa surface est multipliée par 8/9 à chaque étape et tend vers zéro à la limite. Pourtant, l'ensemble reste connexe et contient des chemins s'étendant sur de nombreuses échelles. Ces deux grandeurs décrivent différents aspects de la construction : l’aire mesure la proportion occupée, tandis que la dimension mesure l’augmentation de la couverture des détails.
La structure reste intacte malgré la zone manquante
Le triangle reste connecté par des points ; le tapis contient des chemins autour des trous à toutes les échelles de construction. Ces exemples montrent que la surface, la connectivité et la complexité dimensionnelle décrivent différents aspects d’un ensemble.
Le trou central n’est pas un défaut isolé ; il se répète à l’intérieur de chaque copie restante. Son motif subsiste même lorsque la surface totale tend vers zéro. Dans une image finie, l’effet dépend fortement de la profondeur de construction : trop peu d’itérations ne montrent que des lacunes grossières, tandis que trop d’itérations créent un effet de moiré et des lignes noyées. Un rendu réussi adapte la profondeur de construction à la grille de pixels.
Sources et lectures complémentaires
Cet article résume les sources spécialisées suivantes en reprenant leur formulation d'origine. Consultées et révisées par la rédaction 12 août 2026.
- Sierpiński SieveWolfram MathWorld
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ApplicationsWiley
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