Sierpiński-háromszög és szőnyeg
A Sierpiński-konstrukciók a kiválasztott alformákat többszörösen megtartják, a többit pedig eltávolítják. Egyszerű rácsuk révén a méretezés, a dimenziók és a kapcsolódások szokatlanul jól láthatóvá válnak.
Háromszög kivonással vagy káoszjáték
Osszuk fel egy háromszöget négy egybevágó háromszögre, és távolítsuk el a középpontot, majd ismételjük meg a maradék hárommal. Ugyanez a határérték jelenik meg a káoszjátékban is: ismételten mozogjunk az aktuális ponttól félúton egy véletlenszerűen kiválasztott csúcs felé.
A háromszög minden szakaszban három, fél méretarányú másolatot tart fenn, ami log 3/log 2 hasonlósági dimenziót eredményez. A káoszjáték meglepően eltérő úton jut el ugyanahhoz a halmazhoz: véletlenszerűen válasszunk ki egy csúcsot, és mozogjunk az aktuális ponttól félúton felé. Egy átmeneti szakasz után a pontok – a véletlenszerű választások ellenére – szinte teljes egészében a Sierpiński-háromszögön helyezkednek el. A geometriát a kontrakciók határozzák meg; a véletlenszerűség csupán elosztja a mintákat.
Szőnyeg és dimenzió
A szőnyeg egy négyzetet kilenc részre oszt, és eltávolítja a közepét, így nyolc másolatot hagy meg egyharmad méretarányban. Hasonlósági dimenziója log 8 / log 3, míg területe nullához tendál.
A szőnyeg a kilenc négyzet közül nyolcat egyharmados méretarányban tart meg, így hasonlósági dimenziója log 8/log 3. Területe minden szakaszban 8/9-mal szorozódik, és a határértékben eltűnik. A halmaz azonban összefüggő marad, és számos méretarányon átívelő útvonalakat tartalmaz. A két mennyiség a konstrukció különböző aspektusait írja le: a terület a kihasznált arányt méri, míg a dimenzió a részletek lefedettségének növekedését méri.
A szerkezet megmarad a hiányzó területen is
A háromszög a pontokon keresztül összekapcsolódik; a szőnyeg minden építési méretarányú lyuk körül pályákat tartalmaz. Ezek a példák azt mutatják, hogy a terület, az összekapcsoltság és a dimenziós komplexitás egy halmaz különböző aspektusait írják le.
A középső lyuk nem egy elszigetelt hiba; minden fennmaradó másolat belsejében megismétlődik. Mintázata akkor is megmarad, ha a teljes terület nullához tendál. Egy véges képen a hatás erősen függ a lépésmélységtől: túl kevés iteráció esetén csak durva rések láthatók, míg túl sok iteráció moaré-hatást és elnyelt vonalakat eredményez. A sikeres renderelés a konstrukció mélységét a pixelrácshoz igazítja.
Források és további olvasnivalók
Ez a cikk az alábbi szakirodalmi forrásokat foglalja össze eredeti megfogalmazásukban. Hozzáférés és szerkesztői áttekintés: 12 augusztus 2026.
- Sierpiński SieveWolfram MathWorld
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ApplicationsWiley
Folytassa az ötletet
A Cantor-halmaz
Távolítsd el örökre a középső harmadokat, és fedezz fel egy számtalan halmazt, amelynek hossza nulla, önhasonlósága van, és dimenziója log 2/log 3.
A Menger-szivacs
Fedezze fel a Sierpiński-szőnyeg háromdimenziós változatát, amelynek térfogata nullához konvergál, felületének komplexitása pedig korlátlan.
Fraktál dimenzió
Mit mér a fraktál dimenzió, hogyan működik a dobozszámlálás, és miért lehet egy objektumnak több mint egy értelmes dimenziója.