Треугольник и ковёр Сьерпинского
Конструкции Сьерпинского многократно сохраняют выбранные подфигуры и удаляют остальные. Их простые сетки делают масштабирование, размерность и связность необычайно наглядными.
Треугольник методом вычитания или игра «Хаос»
Разделите треугольник на четыре конгруэнтных треугольника и удалите центральный, затем повторите эту операцию с оставшимися тремя. Тот же предел появляется в игре «хаос»: многократно перемещайтесь на половину расстояния от текущей точки к случайно выбранной вершине.
Треугольник сохраняет на каждом этапе три копии в половинном масштабе, что даёт коэффициент подобия log 3/log 2. Игра «Хаос» достигает того же набора удивительно иным путём: выберите вершину наугад и переместитесь на половину расстояния от текущей точки к ней. После переходного периода точки почти полностью лежат на треугольнике Серпинского, несмотря на случайный выбор. Сжатия определяют геометрию; случайность лишь распределяет выборки.
Ковер и размер
Ковёр делит квадрат на девять частей и удаляет центр, оставляя восемь копий в масштабе одна треть. Его размер подобия равен log 8 / log 3, а площадь стремится к нулю.
Ковёр сохраняет восемь из девяти квадратов в масштабе одной трети, поэтому его размер подобия равен log 8/log 3. Его площадь умножается на 8/9 на каждом этапе и стремится к нулю в пределе. Тем не менее множество остаётся связным и содержит пути, проходящие через многие масштабы. Эти две величины описывают разные аспекты конструкции: площадь измеряет занимаемую долю, а размер — рост детализации.
Структура сохраняется даже при отсутствии части области
Треугольник остается связанным через точки; ковер содержит пути вокруг отверстий любого масштаба построения. Эти примеры показывают, что площадь, связность и размерная сложность описывают различные аспекты множества.
Центральное отверстие — это не изолированный дефект; оно повторяется внутри каждой оставшейся копии. Его узор сохраняется даже тогда, когда общая площадь стремится к нулю. В конечной картинке эффект сильно зависит от глубины построения: слишком малое количество итераций показывает лишь грубые пробелы, тогда как слишком большое — создает муар и «проглоченные» линии. Удачный рендеринг обеспечивает соответствие глубины построения пиксельной сетке.
Источники и дополнительная литература
В данной статье в оригинальной формулировке обобщены следующие специализированные источники. Доступ получен и редакционная проверка проведена 12 августа 2026.
- Sierpiński SieveWolfram MathWorld
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ApplicationsWiley
Продолжить идею
Множество Кантора
Удалите средние трети навсегда и откройте для себя несчётное множество с нулевой длиной, самоподобием и размерностью log 2/log 3.
Губка Менгера
Исследуйте трехмерный аналог ковра Серпинского с нулевым предельным объёмом и неограниченной сложностью поверхности.
Фрактальная размерность
Что измеряет фрактальная размерность, как работает метод подсчёта ячеек и почему один объект может иметь более одной значимой размерности.