Трикутник Сєрпінського та килим
Конструкції Сєрпінського багаторазово зберігають вибрані підфігури та видаляють решту. Їхні прості сітки роблять масштабування, розмірність та зв’язність надзвичайно наочними.
Трикутник шляхом віднімання або гра «Хаос»
Розділіть трикутник на чотири рівнобічні трикутники та видаліть центральний, а потім повторіть цю операцію з рештою трьох. Та сама межа з’являється у грі «хаос»: неодноразово переміщайтеся на половину відстані від поточної точки до випадково обраної вершини.
Трикутник зберігає три копії в половинному масштабі на кожному етапі, що дає коефіцієнт подібності log 3/log 2. Гра «Хаос» досягає того самого набору напрочуд іншим шляхом: виберіть вершину навмання та перемістіться на половину відстані від поточної точки до неї. Після перехідного періоду точки майже повністю лежать на трикутнику Сєрпінського, незважаючи на випадковий вибір. Скорочення визначають геометрію; випадковість лише розподіляє вибірки.
Килим та розмірність
Килим ділить квадрат на дев’ять частин і видаляє центр, залишаючи вісім копій у масштабі 1:3. Його розмір подібності дорівнює log 8 / log 3, тоді як його площа наближається до нуля.
Килим зберігає вісім із дев’яти квадратів у масштабі 1/3, тому його розмір подібності дорівнює log 8/log 3. Його площа на кожному етапі множиться на 8/9 і зникає у границі. Проте множина залишається зв’язною та містить шляхи, що пролягають через багато масштабів. Ці дві величини описують різні аспекти конструкції: площа вимірює зайняту частку, тоді як розмірність вимірює зростання деталізації покриття.
Структура зберігається навіть у разі відсутності певної ділянки
Трикутник залишається з’єднаним через точки; килим містить шляхи навколо отворів у будь-якому масштабі побудови. Ці приклади показують, що площа, зв’язність та розмірність описують різні аспекти множини.
Центральний отвір не є ізольованим дефектом; він повторюється всередині кожної з решти копій. Його візерунок зберігається навіть тоді, коли загальна площа наближається до нуля. У скінченному зображенні ефект сильно залежить від глибини етапу: занадто мала кількість ітерацій показує лише грубі прогалини, тоді як занадто велика — створює муар та «поглинені» лінії. Удалий рендеринг узгоджує глибину побудови з піксельною сіткою.
Джерела та додаткова література
Ця стаття узагальнює наступні спеціалізовані джерела в оригінальній формулюванні. Ознайомлено та редакційно перевірено 12 серпня 2026.
- Sierpiński SieveWolfram MathWorld
- Fractal Geometry: Mathematical Foundations and ApplicationsWiley
Продовжуйте цю ідею
Множина Кантора
Назавжди усуньте середні третини та відкрийте для себе незліченну множину з нульовою довжиною, самоподібністю та розмірністю log 2/log 3.
Губка Менгера
Дослідіть тривимірний аналог килима Сєрпінського з нульовим граничним об’ємом та необмеженою складністю поверхні.
Фрактальна розмірність
Що вимірює фрактальна розмірність, як працює метод підрахунку коробок і чому один об’єкт може мати більше ніж одну значущу розмірність.