Kuvat, joiden alkuperä on tiedossa

Jokaisen dokumenttikuvan osalta on tarkistettu, että se on nimenomaisesti julkisen omaisuuden alainen tai Creative Commons -lisenssin alainen, ja se on tallennettu paikallisesti. Alkuperäiset matemaattiset kuvat on luotu MandelKit-ohjelmalla tai toistettavalla MandelKit-tietorenderöijällä.

Cantorin joukon seitsemän muodostumisvaihetta — Seitsemän iteraatiota Cantorin rakenteesta: jokaisessa vaiheessa avoin keskimmäinen kolmannes poistetaan jokaisesta jäljellä olevasta välistä.Kuva: Wikimedia contributors · Wikimedia Commons · Public Domain (simple geometry)

Sierpińskin kolmion seitsemäs iteraatio — Sierpińskin kolmion seitsemäs iteraatio: kolme pienennettyä kopiota muodostavat seuraavan vaiheen, jättäen keskimmäisen aukon tyhjäksi.Kuva: PiAndWhippedCream · Wikimedia Commons · Public Domain

Hilbertin käyrän kolme ensimmäistä järjestystä päällekkäin — Hilbert-käyrän kolme ensimmäistä kertaluokkaa osoittavat, kuinka yksiulotteinen viiva kulkee tiheästi neliön läpi raja-arvon muodostumisprosessissa.Kuva: Geoff Richards (Qef) · Wikimedia Commons · Public Domain

Kochin lumihiutaleen viides iterointi — Kochin lumihiutaleen viides iteraatio: jokainen segmentti korvataan toistuvasti neljällä segmentillä, jotka ovat kolmasosa alkuperäisen pituudesta.Kuva: Wrtlprnft · Wikimedia Commons · Public Domain (simple geometry)

Apollonisen ympyräpakkauksen rakennekaavio — Apollonisen tiivisteen rakentaminen: kolmen toisiinsa tangentiaalisen ympyrän välisiin aukkoihin lisätään uusia tangentiaalipiirejä.Kuva: Stevo-88 · Wikimedia Commons · Public Domain

Sierpińskin maton viides iteraatio Mengerin sienen kaksiulotteisena vastineena — Mengerin sienen kaksiulotteinen analogia: jokaisesta neliöstä poistetaan rekursiivisesti keskimmäinen yhdeksäs osa.Kuva: Solkoll · Wikimedia Commons · Public Domain

Lohikäärmekäyrän värikoodatut iteraatiovaiheet — Dragon-käyrä värierotelluilla järjestysluvuilla: toistuva taittaminen tai L-järjestelmä tuottaa sille ominaisen tilaa täyttävän viivan.Kuva: Joehms22 · Wikimedia Commons · Public Domain

Iteratiivisen funktiolaitoksen avulla luotu Barnsleyn saniainen — Barnsleyn saniainen: neljä affiinikuvausfunktiota ja painotettu satunnainen valinta tuottavat saniaista muistuttavan matemaattisen kuvan.Kuva: Farry · Wikimedia Commons · CC0 1.0

Logistisen kuvauksen haarautumiskaavio — Logistisen kuvauksen haarautumiskaavio: parametrin kasvaessa vakaa tila hajoaa toistuvasti, ennen kuin kaoottiset kaistat ilmestyvät.Kuva: PAR · Wikimedia Commons · Public Domain

Vaiheistettu antennilevy, jossa on toistuvia haarautuvia johtimarakenteita — Kokeellinen antennijärjestelmä, jossa on toistuvasti haarautuvia johtimien geometrioita. Tällaiset geometriat voivat sovittaa useita tehollisia pituusasteikkoja kompaktille alueelle.Kuva: Isenberg · Wikimedia Commons · CC BY 4.0

Sininen Mandelbrot-kuva syväzoomauksella, jossa on toistuvasti haarautuvia spiraaleja — Zoomaa syvälle Mandelbrotin alueeseen: toisiinsa liittyvät, mutta ei-identtiset rajarakenteet toistuvat monilla mittakaavoilla.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit · Eigene Darstellung · Own work

Värillisesti renderoitu Julia-joukko, jossa on mutkittelevat reunakaistat — Julia-joukko MandelKit:ssa: yksi iterointisääntö tuottaa rajan, jonka rakenne ulottuu näytön rajoihin asti.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit · Eigene Darstellung · Own work

Burning Ship -fraktali, jossa on punaisia saaria turkoosilla taustalla — Burning Ship MandelKit: iteraation absoluuttinen arvo rikkoo klassisen Mandelbrotin kartan symmetrian.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit · Eigene Darstellung · Own work

Värikäs fraktaalinen reliefi, jossa on kerroksellisia värikaistaleita — Värisuunnittelu MandelKit:ssä: kuva tulkitsee laskettuja arvoja; se ei ole itse matemaattinen joukko.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit · Eigene Darstellung · Own work

Vaaleanpunainen kolmiulotteinen fraktaalinen reliefi mustalla taustalla — 3D-reliefi MandelKit:ssa: korkeus, normaalit ja valaistus muuntavat skalaariset fraktaalitiedot tilalliseksi tulkinnaksi.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit · Eigene Darstellung · Own work

Romanesco, jonka samankaltaiset kukinnot ovat järjestyneet spiraaleiksi — Romanesco toistaa kasvumotiiveja muutaman kokotason verran – se on opettavainen luonnollinen esimerkki, mutta ei äärettömän tarkka fraktaali.Kuva: Jon Sullivan · Wikimedia Commons · Public Domain

Lähikuva saniaisesta, jonka lehdet haarautuvat samankaltaisesti — Saniaisten lehdet ja lehtilaput noudattavat samankaltaisia haarautumismalleja. Biologinen kasvu rajoittaa itsesamankaltaisuuden äärellisiin mittakaavoihin.Kuva: Abbas Karimi · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0

Satelliittikuva haarautuvasta Colorado-joen suistosta — ASTER-kuva Colorado-joen suistosta: virtaus, sedimentti ja maasto muodostavat haarautuvia verkostoja, joiden tilastolliset ominaisuudet riippuvat havainnointiasteikosta.Kuva: NASA/METI/AIST/Japan Space Systems/U.S.–Japan ASTER Science Team · NASA / Wikimedia Commons · Public Domain (NASA)

Haarautuvien lumikiteiden skannauselektronimikroskooppikuvat — Pseudovärjätty USDA-pyyhkäisyelektronimikroskopia: lämpötila ja kosteus muokkaavat kunkin kiteen rajallista dendriittistä kasvua.Kuva: USDA Agricultural Research Service · USDA ARS / Wikimedia Commons · Public Domain (U.S. Government)

Voimakkaasti haarautuva salama tummaa yötaivasta vasten — Salamakanava haarautuu sähköisen läpilyönnin aikana. Sen samankaltaisuus muiden verkostojen kanssa ei tarkoita, että kyseessä olisivat samat prosessit.Kuva: Brad Caldwell (Caldwbr) · Wikimedia Commons · CC0 1.0

Lääketieteellinen kuvitus keuhkoputkista, keuhkorakkuloista ja keuhkovaltimoista — Keuhkoputket ja verisuonet jakavat ilmaa ja verta hierarkkisen haarautumisen kautta. Fraktaalimallit kuvaavat osia tästä geometriasta, eivät koko fysiologiaa.Kuva: Patrick J. Lynch, medical illustrator; C. Carl Jaffe, MD · Yale / Wikimedia Commons · CC BY 2.5

Matematiikan tutkija Benoît Mandelbrotin muotokuva EPFL:ssä 2007 — Benoît Mandelbrot EPFL:ssä, 14 maaliskuu 2007. Hänen työnsä yhdisti skaala-analyysin, tietokonegrafiikan ja epäsäännöllisten muotojen geometrian.Kuva: Rama · Wikimedia Commons · CC BY-SA 2.0 FR

Laatikkolaskenta-ruudukko itsensä kaltaisen epäsäännöllisen käyrän päällä — Ruutulaskenta mittaa, kuinka monta ruudukon solua rakenne koskettaa solukoon muuttuessa.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Rekursiivisesti haarautuva matemaattinen puu, jossa on yksitoista tasoa — Jokainen haara soveltaa samaa rakennussääntöä uudelleen, mutta lyhyemmällä pituudella ja käännetyllä kulmalla.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Kaksi alun perin vierekkäistä logistisen kartan kiertorataa erkanevat toisistaan — Kaksi lähtöarvoa, joiden ero on vain yksi kymmenmiljoonasosa, eroavat toisistaan nopeasti kaoottisessa tilassa.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Kolme approksimaatiota yhä karkeammasta Weierstrass-funktiosta — Jokainen lisätty taajuuskaista tekee käyrästä hienojakoisemman ja epätasaisemman tuhoamatta sen jatkuvuutta.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Täydellinen Mandelbrotin joukko, jossa pääkappale ja satelliitit näkyvät selvästi — Mustat pisteet pysyvät z² + c:n alapuolella; ympäristö on värjätty tasoitetun pakenemisaikansa mukaan.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Rinnakkain esitetyt kuutiomaiset Multibrot-joukot ja Multicorn — Vasen paneeli toistaa kaavaa z³ + c, oikea sen konjugaattimuotoa; pieni säännön muutos tuottaa erilaisen symmetrian.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Newton-fraktali, jossa on kolme värillisesti erotettua vetovoimakenttää — Väri osoittaa, mihin juureen Newtonin menetelmä päätyy; fraktaalin rajat reagoivat herkästi lähtöarvoon.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Newtonin menetelmän viiden juuren kietoutuneet altaat — Viisi attraktoria jakavat tason alueisiin, joiden yhteiset rajat pysyvät toisiinsa kietoutuneina yhä pienemmillä mittakaavoilla.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Lyapunov-fraktali, joka kuvaa jaksollisesti vaihtelevaa logistista kuvausta — Vaaleat alueet merkitsevät vakaita parametrijonoja; tummat ja siniset alueet viittaavat positiivisiin Lyapunov-eksponentteihin ja kaaokseen.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Numeerisesti integroitu Lorenzin attraktor, jossa on kaksi perhosmuotoista lohkoa — Yksittäinen liikerata ei koskaan vakiinnu sykliksi, mutta pysyy pysyvästi Lorenzin rakenteen sisällä.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Diffuusiolla rajoitetun, dendriittisesti haarautuvan aggregaatin simulointi — Satunnaisesti liikkuvat hiukkaset tarttuvat klusteriin ensimmäisessä kosketuksessa, jolloin syntyy suodatettuja, puumaisia haaroja.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Prosessuaalinen pilvikenttä, joka on koottu kerroksittaisista kohinaskaaloista — Useat eri kokoiset tasoitetut kohinakentät yhdistyvät tilastollisesti monitasoiseksi pilvirakenteeksi.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Varjostettu, menettelytavoin luotu vuoristoalue, joka on muodostettu rekursiivisesta korkeuskentän alajaostuksesta — Rekursiivinen alajaottelu ja pienentyvät satunnaiset siirtymät tuottavat maaston, jossa on laajoja muotoja ja asteittain hienostuvaa epätasaisuutta.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Monifraktalinen kaskadi, jossa massa on jakautunut epätasaisesti useille mittakaavoille — Kertova kaskadi jakaa painotuksen epätasaisesti jokaisessa vaiheessa, jolloin syntyy useita paikallisia skaalauseksponentteja.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Monitasoinen synteettinen aikasignaali, jossa on hidas perusviiva — Spektraalisesti generoitu 1/f-tyyppinen signaali havainnollistaa fysiologisissa aikasarjoissa tutkittuja pitkän kantaman vaihteluita.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Fraktaalikuvassa on ruudukko ja kolme muunnettua aluetta — Kaavio havainnollistaa periaatetta, jossa kuvan alueita kuvataan muiden alueiden affiinisten kopioiden avulla.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Kolmannen asteen Menger-sienen isometrinen renderointi — Jokaisessa vaiheessa keskimmäiset alikuutiot poistetaan, jolloin jäljelle jää rei'itetty kappale, jonka pinta-ala kasvaa jatkuvasti.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Etäisyysarvio Mandelbrotin joukon ympärillä tarkkoine etäisyyskontuureineen — Iteraatiojohdannainen antaa arvion etäisyydestä joukkoon; kontuurit tekevät tämän skalaariarvon näkyväksi.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work

Mandelbrotin renderöinti näkyvällä ruudukolla suurta vientiä varten — Liian suuret kuvat jaetaan hallittaviin osiin, jotka kootaan sitten yhteen ilman näkyviä saumoja.Kuva: Björn Kindler / MandelKit · MandelKit Wissensgrafik · Eigene Darstellung · Own work